Mostre que, se duas pessoas estão a distâncias diferentes de uma fonte sonora, a diferença Δβ entre os níveis de intensidade que atingem as pessoas, em decibéis, sempre será a mesma, independentemente da potência irradiada pela fonte.

Passo 1

Para isso, vamos usar a equação para a intensidade em decibéis:

β = 10 d B log ⁡ I I 0

E a intensidade I pode ser escrita em termos da potência média e da distância:

I = P m 4 π r 2

Substituindo na primeira equação:

β = 10 d B log ⁡ P m 4 π r 2 I 0

Passo 2

Agora como estamos lidando com dois pontos com distancias diferentes r 1 e r 2 , as intensidades serão diferentes, e os β também, vamos escrever as equações para cada caso:

β 1 = 10 d B log ⁡ P m 4 π r 1 2 I 0

β 2 = 10 d B log ⁡ P m 4 π r 2 2 I 0

E agora fazendo a diferença Δβ que o enunciado fala:

Δ β = β 2 - β 1 = 10 d B log ⁡ P m 4 π r 2 2 I 0 - 10 d B log ⁡ P m 4 π r 1 2 I 0

Colocando 10dB em evidencia e usando a propriedade dos logaritmos:

Δ β = ( 10 d B ) log ⁡ P m 4 π r 2 2 I 0 P m 4 π r 1 2 I 0

Simplificando:

Δ β = ( 10 d B ) log ⁡ r 1 2 r 2 2

E pronto, mostramos que a diferença não depende da potência, só depende das distâncias de cada ponto da fonte sonora.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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