Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 78
a) Mostre que a Equação (16.30) pode ser escrita na forma:
b) Use a serie binomial para mostrar que quando , esse resultado é aproximadamente igual a
c) Um avião de reconhecimento sem piloto emite um sinal de rádio com uma frequência igual a . Ele está voando em linha reta rumo ao engenheiro que está no solo. O engenheiro detecta batimentos entre o sinal recebido e o sinal local cuja frequência é também igual a . A frequência dos batimentos é igual a . Qual é a velocidade do avião? (As ondas de radio se deslocam com velocidade igual à velocidade da luz.
Passo 1
a) Só precisamos usar a equação que a questão fala, que é a 16.30:
E mexer nela. Vamos separar as raízes:
Agora escrevemos elas em frações de potência:
Invertemos o sinal da potência do termo no denominador:
Tiramos como fator comum das duas raízes:
Simplificamos eles:
E pronto, mostramos que a equação pode ser escrita dessa forma.
Passo 2
O teorema binomial afirma que, para um muito pequeno, podemos fazer:
E:
Como na equação da letra (a) é muito pequeno porque , então:
Usando de novo o teorema binomial:
E mostramos o que foi pedido.
Passo 3
c) para o caso de um avião, podemos usar a última aproximação para o caso , já que o avião se desloca numa velocidade bem menor que a da luz. A questão pede a velocidade do avião e dá para a gente os batimentos entre as ondas refletidas e emitidas, a equação de batimentos é:
Isolando que é a velocidade do avião que queremos calcular:
Substituindo a frequência dos batimentos:
Colocando os valores dados:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)