a) Mostre que a expressão para o comprimento de Planck ℏ G / c 3 tem dimensão de comprimento. b) Calcule o valor numérico de ℏ G / c 3 e verifique o valor fornecido pela Equação (44.21).

Passo 1

a) A constante possui grandeza de energia vezes tempo, G possui dimensão de energia vezes comprimento dividido por massa ao quadrado e c é metro por segundo. Substituindo na equação, fica:

E ⋅ T E ⋅ C M 2 C T 3  

Os comprimentos C podem ser simplificados e podemos tirar tudo da raiz depois de resolver os produtos de T e E :

T 4 ⋅ E 2 M 2 ⋅ C 2 = T 2 ⋅ E M ⋅ C

Podemos escrever energia sobre massa como comprimento ao quadrado sobre tempo ao quadrado:

E M = C 2 T 2

(para facilitar podemos escrever as unidades do sistema internacional: 1   J = 1   k g ⋅ m 2 / s 2 , se passarmos k g dividindo, fica exatamente a equação de cima.)

Substituindo:

T 2 C C 2 T 2 = C

E mostramos que a unidade para o comprimento de Planck é comprimento mesmo.

Passo 2

b) Nesse caso o enunciado pede para a gente calcular numericamente o valor. Basta substituirmos o valor de cada constante:

ℏ G c 3 = 6,626 × 10 - 34   J ⋅ s 6,673 × 10 - 11   N ⋅ m 2 / k g 2 2 π ( 3,00 × 10 8   m / s )

E isso resulta em:

1,616 × 10 - 35   m

Que é o valor dado na equação 44.21 .

Resposta

b )   1,616 × 10 - 35   m

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