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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 20

Mostre que a intensidade do campo elétrico E no eixo de um anel carregado de raio a tem valor máximo em z = ± a / 2 . (b) Esboce a intensidade E do campo versus z para valores positivos e negativos de z . (c) Determine o valor máximo de E .

Passo 1

  1. Essa é uma questão basicamente de cálculo. Sabemos que o campo elétrico é dado pela função

    2. E z = k Q z z 2 + a 2 3 / 2

    Queremos determinar o valor máximo dessa função. Para tal, a gente deriva e igual a zero.

    d E z d z = 0 ⟹ k Q d d z z z 2 + a 2 3 / 2 = 0

    Aplicando a regra do quociente, temos

    z 2 + a 2 3 / 2 - z ⋅ 3 2 ⋅ 2 z ⋅ z 2 + a 2 1 / 2 z 2 + a 2 3 = 0 z 2 + a 2 - 3 z 2 z 2 + a 2 5 / 2 = 0 ⟹ a 2 - 2 z 2 z 2 + a 2 5 / 2 = 0

    Ou seja,

    z = ± a 2

    A gente pode ver que esses valores realmente não dá um máximo, pois d E z d z < 0 para z > a / 2 e d E z d z > 0 para z < a / 2 .

    Passo 2

  2. O gráfico possui o seguinte aspecto:

    3. Passo 3

  3. Basta substituir z = a / 2 :

E = k Q z z 2 + a 2 3 / 2 = k Q a / 2 a 2 2 + a 2 3 / 2 E = 2 3 9 k Q a 2

Resposta

  1. z = ± a / 2
  2. Ver gráfico
  3. 2 3 9 k Q a 2
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