Enunciado
Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 74
Você conseguiu um emprego em uma companhia que projeta e constrói nanomáquinas. Um engenheiro da empresa está projetando um oscilador microscópico para ajudar a medir o tempo, e você foi indicado para ajudá-lo na análise do projeto. O engenheiro pretende colocar uma carga negativa no centro de uma pequena espiral de metal carregada positivamente. Ele afirma que a carga negativa descreverá um movimento harmônico simples cuja frequência será determinada pela quantidade de carga sobre a espiral.
- Considere uma carga negativa próxima ao centro de um anel carregado positivamente. Mostre que existe uma força restauradora exercida sobre a carga quando ela se move ao longo do eixo z, mas permanecendo próxima ao centro, ou seja, mostre que existe uma força que tende a trazer a carga de volta para a posição
- Mostre que, para pequenas oscilações de amplitude uma partícula de massa m e carga q efetuará um movimento harmônico simples com frequência dada por:
- Calcule a frequência de oscilação para um elétron no centro de um anel com de diâmetro carregado com .
onde R e Q são, respectivamente, o raio e a carga do anel.
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Para a)
Sabemos que a força elétrica é dada por:
E a força restaurado elétrica seria:
Assim, para o anel, precisamos achar o campo elétrico a um ponto de distancia do anel. Assim:
Assim:
Veja que as componentes em x e y se cancela, sobrando somente em z, assim:
Assim:
Veja que:
E:
De modo que:
Integrando de
Assim a força restaurador a é:
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Para b)
Para
O que é simplesmente alei de Hooke , onde:
E uma partícula que obedece a lei de Hooke em um um sistema harmônico simples é regida em:
Assim:
Passo 3
Para c)
Substituindo os valores:
Concluímos que:
Resposta
Para a)
para c)