Enunciado
Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 7
Mostre que, no interior de uma ímã permanente (Seç. 11.8), podemos introduzir para o campo um novo potencial escalar magnético tal que , onde está relacionado com a magnetização do meio por
e simula a densidade de ‘carga magnética’. Comparando com a equação de Poisson da eletrostática, resulta que podemos calcular , se for conhecido, usando um análogo da lei de Coulomb, em que faz o papel de .
Passo 1
Sabemos que o campo é dado por
onde são as correntes livres. No interior de um ímã permanente, não há correntes livres, de modo que . Assim,
Isso significa que dentro do ímã, o campo é irrotacional.
Agora você deve lembrar de uma identidade importante do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é nulo:
Assim, se um campo vetorial tem rotacional nulo, ele pode ser escrito como rotacional de um campo escalar. Assim,
Por uma questão de simplicidade, vamos definir . Assim, podemos escrever
Passo 2
Agora você deve lembrar que o laplaciano de um campo escalar é o divergente do gradiente:
Assim, o laplaciano de é
Mas . Assim,
Mas você deve lembrar que
Portanto,
Para obter uma expressão semelhante a equação de Poisson, vamos definir , onde simula a densidade de carga magnética.
Com isso, achamos que no interior de um ímã permanente:
Lembrando que a equação de Poisson era
Portanto, para achar , basta usar um análogo da lei de Coulomb
Resposta
Demonstração.