Mostre que, no interior de uma ímã permanente (Seç. 11.8), podemos introduzir para o campo H → um novo potencial escalar magnético ξ tal que H → = - ∇ ξ , onde ξ está relacionado com a magnetização M → do meio por Δ ξ = ∇ ⋅ M → = - ρ m e ρ m simula a densidade de ‘carga magnética’. Comparando com a equação de Poisson da eletrostática, resulta que podemos calcular H → , se M → for conhecido, usando um análogo da lei de Coulomb, em que ρ m faz o papel de ρ / ε 0 .

Enunciado

Sabemos que o campo é dado por

onde são as correntes livres. No interior de um ímã permanente, não há correntes livres, de modo que . Assim,

Isso significa que dentro do ímã, o campo é irrotacional.

Agora você deve lembrar de uma identidade importante do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é nulo:

Assim, se um campo vetorial tem rotacional nulo, ele pode ser escrito como rotacional de um campo escalar. Assim,

Por uma questão de simplicidade, vamos definir . Assim, podemos escrever

Agora você deve lembrar que o laplaciano de um campo escalar é o divergente do gradiente:

Assim, o laplaciano de é

Mas . Assim,

Mas você deve lembrar que

Portanto,

Para obter uma expressão semelhante a equação de Poisson, vamos definir , onde simula a densidade de carga magnética.

Com isso, achamos que no interior de um ímã permanente:

Lembrando que a equação de Poisson era

Portanto, para achar , basta usar um análogo da lei de Coulomb

Demonstração.