Mostre que, no interior de uma ímã permanente (Seç. 11.8), podemos introduzir para o campo H → um novo potencial escalar magnético ξ tal que H → = - ∇ ξ , onde ξ está relacionado com a magnetização M → do meio por

Δ ξ = ∇ ⋅ M → = - ρ m

e ρ m simula a densidade de ‘carga magnética’. Comparando com a equação de Poisson da eletrostática, resulta que podemos calcular H → , se M → for conhecido, usando um análogo da lei de Coulomb, em que ρ m faz o papel de ρ / ε 0 .

Passo 1

Sabemos que o campo H → é dado por

∇ × H → = j →

onde j → são as correntes livres. No interior de um ímã permanente, não há correntes livres, de modo que j → = 0 → . Assim,

∇ × H → = 0 →

Isso significa que dentro do ímã, o campo H → é irrotacional.

Agora você deve lembrar de uma identidade importante do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é nulo:

∇ × ∇ f = 0 →

Assim, se um campo vetorial tem rotacional nulo, ele pode ser escrito como rotacional de um campo escalar. Assim,

H → = ∇ f

Por uma questão de simplicidade, vamos definir ξ = - f . Assim, podemos escrever

H → = - ∇ ξ

Passo 2

Agora você deve lembrar que o laplaciano de um campo escalar é o divergente do gradiente:

∇ 2 f = Δ f = ∇ ⋅ ∇ f

Assim, o laplaciano de ξ é

Δ ξ = ∇ ⋅ ∇ ξ

Mas ∇ ξ = - H → . Assim,

Δ ξ = ∇ ⋅ - H → = - ∇ ⋅ H →

Mas você deve lembrar que

∇ ⋅ H → = - ∇ ⋅ M →

Portanto,

Δ ξ = ∇   ⋅ M →

Para obter uma expressão semelhante a equação de Poisson, vamos definir ∇ ⋅ M → = - ρ m , onde ρ m simula a densidade de carga magnética.

Com isso, achamos que no interior de um ímã permanente:

H → = - ∇ ξ             e             Δ ξ = ∇ ⋅ M → = - ρ m

Lembrando que a equação de Poisson era

Δ V = - ρ ε 0

Portanto, para achar H → , basta usar um análogo da lei de Coulomb

E →         e       ρ ε 0           →         H →         e         ρ m

Resposta

Demonstração.

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