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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 91

Mostre que o trabalho total necessário para agregar uma esfera carrega uniformemente que tem uma carga total Q e um raio R é dado por 3 Q 2 / 20 π ε 0 R . A conservação de energia nos diz que este resultado é o mesmo que a energia potencial eletrostática da esfera. Dica: Seja ρ a densidade de carga da esfera que tem carga Q e raio R . Calcule o trabalho d W para trazer uma carga d q do infinito até a superfície de uma esfera uniformemente carregada de raio r ( r < R ) e densidade de carga ρ . (Nenhum trabalho adicional é necessário para arrastar d q através da casca esférica de raio r , espessura d r e densidade de carga ρ . Por quê?)

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos começar lembrando que a energia potencial eletrostática é dada por:

U = q V

onde q é a carga e V é o potencial elétrico no ponto onde q está colocada. Para o nosso caso, estamos falando de cargas infinitesimais, de modo que

d U = V ⋅ d q

A seguir, fazemos a integração para obter toda a energia.

Passo 2

Como d U = V ⋅ d q e

V = k Q i n t r = 1 4 π ε 0 r ⋅ 4 3 π ρ r 3 V = ρ r 2 3 ε 0

Além disso,

q = 4 3 π ρ r 3 ⟹ d q = 4 π ρ r 2   d r

Logo,

d U = ρ r 2 3 ε 0 ⋅ 4 π ρ r 2   d r d U = 4 π ρ 2 3 ε 0 r 4   d r

Finalmente, realizando a integração

U = 4 π ρ 2 3 ε 0 ∫ 0 R r 4   d r = 4 π ρ 2 R 5 15 ε 0

Porém, lembre-se que a densidade é

ρ = Q V = Q 4 3 π R 3 = 3 Q 4 π R 3

Logo,

U = 4 π R 5 15 ε 0 3 Q 4 π R 3 2 = 3 Q 2 20 π ε 0 R

que é o que queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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