a) Mostre que a variação relativa na velocidade do som ( d v / v ) devido a uma pequena variaao de temperatura d T é dada por d v / v = 1 2 d T / T . (Sugestão: Comece com a Equação 16.10.) b) A velocidade do som no ar a 20   ° C é 344   m / s . Use o resultado da aprte (a) para encontrar a variação na velocidade do som devido a uma variação de 1,0   ° C na temperatura do ar.

Passo 1

a) A equação sugerida é a seguinte:

v = γ R T M

Como podemos ver, γ ,   M   e   R   são constantes. Podemos então derivar v com relação a T , para acharmos:

d v d T = 1 2 γ R M T

Passo 2

Para chegarmos na relação dada no enunciado basta multiplicarmos e dividirmos o lado direito por T :

d v d T = 1 2 γ R M T T T

Ficamos com:

d v d T = 1 2 T γ R T M

E como dá para ver, a raiz do lado direito é igual a v :

d v d T = 1 2 T v

Reorganizando:

d v v = d T 2 T

Pronto, chegamos na relação que o enunciado pede.

Passo 3

b) Agora basta usarmos essa relação e substituirmos os valores dados pelo enunciado, mas antes convertermos o que é necessário para a escala Kelvin, já que a equação que usamos desde o passo 1 usa essa escala de temperatura:

d v 344   m / s = 1   K 2 ( 293   K )

Repare que a variação passou de 1   ° C para 1   K , porque é uma variação, e na conversão entre as escalas, não adicionamos 273.

Isolando a variação e resolvendo:

d v = 0,59   m / s

Resposta

d v = 0,59   m / s

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