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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 56

Um objeto de massa m está inicialmente em repouso na origem. No instante t 0 , aplica-se uma nova força F ( t ) cujos componentes são F x t = k 1 +   k 2 y e F y t = k 3 t , onde k 1 , k 2 e k 3 são constantes. Determine em função do tempo o vetor posição r → ( t ) e o vetor velocidade v → ( t ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o vetor posição r → ( t ) e o vetor velocidade v → ( t ) , sabendo que são aplicadas as forças F x t = k 1 +   k 2 y e F y t = k 3 t em um objeto de massa m .

Vamos começar com as seguintes equações:

x = ∫ 0 k   v x d t  

v x = ∫ 0 t   a x d t

e equações semelhantes se aplicam ao componente y .

Nesta situação, o componente x da força depende explicitamente do componente y da posição. Como o componente y da força é dado como uma definição explícita de tempo, v y  e  y podem ser encontrados como funções do tempo e usado na expressão para a x ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Usando as expressões do enunciado, vamos ter:

a y = k 3 m t

v y = k 3 2 m t 2

y = k 3 / 6 m t 3

Onde as condições iniciais v 0 y = 0 , y 0 = 0 foram usadas. Então, as expressões para a x , v x e x , são obtidas como funções do tempo:

a x = k 1 m + k 2 k 3 6 m 2 t 3 ,

v x = k 1 m t + k 2 k 3 24 m 2 t 4

x = k 1 2 m t 2 + k 2 k 3 120 m 2 t 5

Passo 3

Em forma vetorial:

r → = k 1 2 m t 2 + k 2 k 3 120 m 2 t 5 i ^ + k 3 6 m t 3 j ^

E

v → = k 1 m t + k 2 k 3 24 m 2 t 4 i ^ + k 3 2 m t 2 j ^

a x   depende do tempo porque depende de y e y é uma função do tempo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r → = k 1 2 m t 2 + k 2 k 3 120 m 2 t 5 i ^ + k 3 6 m t 3 j ^

v → = k 1 m t + k 2 k 3 24 m 2 t 4 i ^ + k 3 2 m t 2 j ^

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