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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 26.1 - Ex. 57

Uma partícula com carga q e massa m move-se com velocidade angular ω em uma trajetória circular de raio r . (a) Mostre que a corrente média criada por esta partícula em movimento é ω q / 2 π e que o momento magnético de sua órbita tem magnitude de 1 2 q ω r 2 . (b) Mostre que o momento angular desta partícula tem magnitude m r 2 ω e que os vetores momento magnético e momento angular está relacionado por μ → = q 2 m L → , onde L → é o momento angular em torno do centro do círculo.

Passo 1

Vamos imaginar uma carga q em movimento circular. O tempo necessário para a carga dar uma volta é período T que se relaciona com a velocidade angular ω por

ω = 2 π T → T = 2 π ω

A corrente será a carga q dividida por esse tempo T :

I = q T → I = q ω 2 π

Passo 2

O momento magnético é dado por

μ = I A = I π r 2

Assim,

μ = q ω 2 π ⋅ π r 2 → μ = 1 2 q ω r 2

Passo 3

O momento angular é dado por

L → = r → × p →

Com isso, o vetor momento angular vai apontar na direção perpendicular ao plano da órbita e será dado por

L = r ⋅ m v = m r v

Como v = ω r , temos que

L = m ω r 2

Isolando ω r 2 :

ω r 2 = L m

Daí substituímos na equação do passo 2:

μ = 1 2 q ⋅ L m → μ = q 2 m L

Como a direção de μ → é a mesma de L → :

μ → = q 2 m L →

Resposta

Demonstração.

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