Enunciado
Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 26.1 - Ex. 58
Uma casca cilíndrica não condutora uniformemente carregada (Figura 26-38) tem comprimento , raios interno e externo e , respectivamente, densidade de carga e velocidade angular em torno de seu eixo. Derive uma expressão para o momento magnético do cilindro.
Passo 1
Considere a casca cilíndrica girando:
Como o cilindro está carregado, o movimento de rotação faz com que as cargas se movam junto, de modo que aparece uma corrente elétrica superficial.
Vamos considerar uma casca cilíndrica infinitesimal de raio e espessura . Essa casca é tão fina que se comporta praticamente como uma espira:
A corrente infinitesimal se relaciona com a carga dessa casca infinitesimal por
Nesse caso, é o tempo para dar uma volta completa, dado por
Portanto,
Com isso,
Passo 2
Agora precisamos relacionar a carga com a espessura infinitesimal . Para isso, usamos
O elemento de volume será
Esse é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas. Você pode pensar na área de uma coroa circular infinitesimal de raio e espessura multiplicada pela altura do cilindro.
Assim,
Logo,
Passo 3
Daí basta integrar de até :
Portanto,