Enunciado
Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 8
8. Uma partícula se encontra confinada numa caixa com paredes impenetráveis de largura , em uma dimensão. Para , ela se encontra, com certeza, na metade direita da caixa, havendo igual probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto dessa metade.
Obtenha uma função de onda inicial que descreve a partícula.
Qual é a probabilidade de que uma medida da energia, para , encontre-a no estado fundamental?
Sugestão: Aplique a Regra II
Passo 1
E vamos para mais um problema! Vem comigo que vai dar tudo certo.
Primeiro para achar a função de onda inicial temos que nos atentar nos detalhes fornecidos pelo enunciado de que em a partícula está com toda certeza no lado direito da caixa.
Para que isso aconteça temos que:
E
Com isso podemos partir para a montagem da função no intervalo .
Agora para achar a probabilidade de encontrar essa partícula no estado teremos que expandir essa função dessa partícula na base dos autoestados do poço infinito, dados por:
Teremos a seguinte expansão:
A probabilidade do estado fundamental vai ser dada por:
Poderemos encontrar da seguinte forma:
Passo 2
Vamos então encontrar a função que define essa partícula em . Temos o seguinte:
A primeira integral nos revela que para .
Para segunda integral vamos pensar no seguinte, se a partícula pode ser encontrada com igual probabilidade me todo lado direito quer dizer que essa função é uma constante.
Vamos chamá-la de , então:
Então temos que:
Nossa função de onda fica da seguinte maneira:
Passo 3
Agora para o item temos que encontrar , assim:
Agora usando que mostrai no passo , temos:
Passo 4
Agora que encontramos uma expressão para vamos encontrar e depois calcular .
Temos:
Temos que e , assim:
Então temos que:
Essa é a probabilidade da partícula ter a energia do modo fundamental.