Uma partícula de massa m e carga q está confirnada a mover-se verticalmente dentro de um cilindro estreito sem atrito (Figura 21-47). No fundo do cilindro está uma carga puntiforme Q que tem o mesmo sinal de q . (a) Mostre que a partícula cuja massa é m estará em equilíbrio a uma altura de y 0 = k q Q / m g 1 / 2 . (b) Mostre que, se a partícula é levemente deslocada de sua posição de equilíbrio e liberada, ela exibirá movimento harmônico simples com frequência angular ω = 2 g / y 0 1 / 2 .

Enunciado

A bolinha estará em equilíbrio quando a força peso for igual a força elétrica. Sendo assim,

Vamos deslocar a bolinha por uma distância para baixo, de modo que . Assim, a nova força elétrica será:

Agora, vamos usar uma famosa aproximação, conhecida como expansão de Bernoulli, que diz:

e ela só é válida quando (ou seja, for muito menor do que ), okay? Dessa forma, temos que

Sendo assim, a força resultante sobre a partícula será:

Porém, , de modo que

Note que a força possui a expressão de um MHS, com

que é o que queríamos mostrar.

Ei, a resposta está no passo a passo :)