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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 49

Uma pedra de 15,0   k g desliza de cima para baixo ao longo de uma colina coberta pela neve ( F i g u r a   7.34 ), deixando o ponto A com velocidade de 10,0   m / s . Não há atrito na colina entre os pontos A e B, mas há atrito no nível do solo à base da colina, entre B e a parede. Após penetrar na região horizontal áspera, a pedra se desloca 100   m   e então colide com uma mola leve, porém comprida, com força constante de 2,0   N / m . Os coeficientes de atrito cinético e estático entre a pedra e o plano horizontal são 0,20 e 0,80 , respectivamente. (a) Qual é a velocidade da pedra quando ela atinge o ponto B? (b) A que distância a pedra comprimirá a mola? (c) A pedra se moverá novamente após ter sido parada pela mola?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O exercício nos mostra uma rocha que desce por um caminho sem atrito até um plano horizontal onde há atrito, se chocando com uma mola no fim do caminho.

Para resolvermos o problema teremos que calcular as energias entre o ponto A, B e final para descobrirmos se após comprimir a mola a rocha voltará a se mover.

Passo 2

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos inicialmente relacionar os dois pontos, A e B, através da conservação de energia. Teremos que:

    2. E A = E B

    1 2 ⋅ m ⋅ v A 2 + m ⋅ g ⋅ h A =   1 2 ⋅ m ⋅ v B 2 + m ⋅ g ⋅ h B

    m massa

    v velocidade

    h altura

    Vamos definir a altura em B como 0 e que a rocha se encontra com uma velocidade v = 10   m / s 2 no ponto A, assim teremos:

    15   k g ⋅ 9,8   m / s 2 ⋅ 20,0   m + 1 2 ⋅ 15   k g ⋅ 10   m / s 2 2   = 1 2 ⋅ 15   k g ⋅ v B 2 + 0

    Teremos então que a velocidade em B será dada da seguinte forma

    v B 2 = 2 ⋅ 15   k g ⋅ 9,8   m / s 2 ⋅ 20,0   m + 1 2 ⋅ 15   k g ⋅ 10   m / s 2 2 15   k g

    v B 2 = 492   m 2 / s 2

    v B = 492   m 2 / s 2 = 22,2   m / s  

    Passo 3

  2. Para descobrirmos o quanto a mola foi comprimida podemos aplicar novamente a conservação de energia. Lembrando que no ponto de máxima compressão da mola a energia mecânica total deve ser igual à do ponto B, assim, temos que:

    3. E B = E f

    1 2 ⋅ m ⋅ v B 2 + m ⋅ g ⋅ h B =   1 2 ⋅ m ⋅ v f 2 + m ⋅ g ⋅ h f + W f a t + U e l á s t i c a

    Repara que aqui estamos considerando o trabalho do atrito, W f a t pois na segunda parte existe a atuação do atrito, e a energia potencial elástica, U e l a s t i c a que também estará presente.

    Temos que o trabalho realizado pela força de atrito é

    W f a t =   μ k ⋅ m ⋅ g ⋅ s

    onde s é a distância percorrida até a mola mais o tanto que foi comprimido da mola ( s = 100   m + x ).

    Temos que o potencial elástico é

    U e l á s t i c a = 1 2 ⋅ k ⋅ x 2

    k constante elástica

    x comprimento da compressão ou da extensão da mola

    Depois da compressão da mola, a velocidade final será 0 e a altura no chão foi definida como 0 . Assim, a equação fica:

    1 2 ⋅ m ⋅ v B 2 =   μ k ⋅ m ⋅ g ⋅ ( 100   m + x ) + 1 2 ⋅ k ⋅ x 2

    1 2 ⋅ m ⋅ v B 2 =   μ k ⋅ m ⋅ g ⋅ 100   m +   μ k ⋅ m ⋅ g ⋅ x +   1 2 ⋅ k ⋅ x 2

    1 2 ⋅ m ⋅ 22,2   m / s 2 = 0,2 ⋅ 15   k g ⋅ 9,8   m / s ⋅ 100   m + 0,2 ⋅ 15   k g ⋅ 9,8   m / s ⋅ x + x 2

    x 2 + 29,4 ⋅ x - 750 = 0

    Resolvendo a equação de segundo grau, chegaremos que a distância comprimida pela mola será

    x = 16,4   m

    Passo 4

  3. Para descobrir se a rocha voltará a se mover após a compressão temos que a força elástica deve vencer a força de atrito estática no seu valor máximo. Temos que a força de atrito estática máxima é dada por:

F f a t e = μ e ⋅ N =   μ e ⋅ m ⋅ g = 0,8 ⋅ 15   k g ⋅ 9,8   m / s = 117,6   N

E a força elástica é dada por:

F e l á s t i c a = k ⋅ x = 2   N / m ⋅ 16,4   m = 32,8   N

Portanto, como a força elástica não é suficiente para “vencer” o atrito estático, a rocha não voltará a se mover.

Resposta

  1. 22,2   m / s
  2. 16,4   m
  3. A rocha não voltará a se mover
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