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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 24

Se x está em pés, t está em milissegundos, e v está em pés por segundo, quais são as unidades das constantes C 1 e C 2 em cada parte do problema 23 ?

Itens do problema 23: (a) x = C 1 + C 2 t , (b) x = 1 2 C 1 t 2 , (c) v 2 = 2 C 1 x , (d) x = C 1 cos ⁡ ( C 2 t ) , (e) v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 2 .

Passo 1

(a) Vamos usar o mesmo método da questão 23 , mas dessa vez as unidades básicas serão diferentes.

Vamos dar uma olhada na primeira equação:

x = C 1 + C 2 t

Segundo o enunciado, o termo da esquerda ( x ) esta em pés (símbolo f t ), então os outros termos também precisam estar.

Vamos usar os colchetes para representar a unidade de medida de uma variável. A primeira constante é mais fácil de determinar:

C 1 = f t

Na segunda temos que considerar a multiplicação pelo tempo t em milissegundos:

C 2 t = C 2 t = f t

C 2 m s = f t

C 2 = f t m s

Passo 2

(b) Agora a segunda equação:

x = 1 2 C 1 t 2

Mais uma vez os termos precisam estar em pés:

1 2 C 1 t 2 = f t

O fator ½ não altera a unidade de medida, então vamos desconsiderá-lo:

1 2 C 1 t 2 = C 1 t 2 = C 1 m s 2

C 1 m s 2 = f t

C 1 = f t m s 2

Passo 3

(c) Vamos olhar para a terceira equação:

v 2 = 2 C 1 x

A unidade do termo da esquerda é a seguinte:

v 2 = f t 2 s 2

Então:

2 C 1 x = C 1 x = f t 2 s 2

C 1 x = C 1 x = C 1 f t = f t 2 s 2

C 1 = f t s 2

Passo 4

(d) Mais uma vez queremos que os termos tenham unidades de posição:

x = C 1 cos ⁡ C 2 t

C 1 cos ⁡ C 2 t = f t

O cosseno não “gera” nenhuma unidade de medida, então podemos tirar ele da expressão:

C 1 = f t

E para encontrar a unidade do C 2 , temos que garantir que o argumento do cosseno também não tenha unidade:

C 2 t = 1

C 2 = 1 m s

Obs.: Na realidade o argumento do cosseno pode estar em radianos, mas essa é o que chamamos de uma quantidade adimensional.

Passo 5

(e) Repetindo o mesmo procedimento:

v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 2

v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 2

E os dois termos da direita precisam ter a mesma unidade de medida que o da esquerda. Para o primeiro termo temos a seguinte relação:

2 C 1 v = C 1 v = f t 2 s 2

C 1   f t s = f t 2 s 2         ⇒           C 1 = f t s

E para o segundo:

C 2 x 2 = f t 2 s 2         ⇒           C 2 2 f t 2 = f t 2 s 2

C 2 2 = C 2 2 = 1 s 2         ⇒         C 2 = 1 s

Resposta

(a) C 1 está em f t e C 2 em f t / m s .

(b) C 1 está em f t / m s 2 .

(c) C 1 está em f t / s 2

(d) C 1 está em f t e C 2 está em m s - 1 .

(e) C 1 está em f t / s e C 2 está em s - 1 .

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