A polícia do estado americano de New Hampshire usa aviões para verificar se o limite de velocidade está sendo respeitado nas rodovias. Suponha que um dos aviões possui uma velocidade de cruzeiro de 135   m i / h no ar em repouso. Ele está voando para o norte, mantendo-se diretamente acima de uma rodovia norte-sul. Pelo rádio, um observador no solo informa ao piloto que está soprando um vento de 70,0   m i / h , mas se esquece de informar a direção e o sentido do vento. O piloto observa que, apesar do vento, o avião consegue voar 135   m i ao longo da rodovia em 1,00   h . Em outras palavras, a velocidade em relação ao solo é a mesma se não houvesse vento. (a) Qual é a direção do vento? (b) Qual é o curso do avião, ou seja, para que direção seu nariz está apontado?

Passo 1

Vamos começando dando nomes às velocidade envolvidas no problema:

v → A S         ⇒             V e l o c i d a d e   d o   A v i ã o   e m   r e l a ç ã o   a o   S o l o

v → V S         ⇒           V e l o c i d a d e   d o   V e n t o   e m   r e l a ç ã o   a o   S o l o

v → A V         ⇒           V e l o c i d a d e   d o   A v i ã o   e m   r e l a ç ã o   a o   V e n t o .

Usando a fórmula de sempre para velocidade relativa, podemos escrever o seguinte:

v → A S = v → A V + v → V S

Passo 2

Beleza, o que a gente sabe até agora? Como o avião se move diretamente acima de uma rodovia no sentido “sul para norte” sabemos que a sua velocidade em relação ao solo aponta para o norte:

v → A S = v A S   j ^

E com essa velocidade ele percorre 135   m i em 1 hora nessa direção, então podemos calcular o módulo v A G :

v → A S = 135   j ^   m i / h

Além disso, como a velocidade de cruzeiro do avião no ar em repouso é 135   m i / h , nós também sabemos o módulo da sua velocidade em relação ao vento:

v → A V = v A V = 135   m i / h

Vamos representar essas informações em um desenho:

Nesse desenho, a direção do vetor v → A V e do v → V S são só chutes! Ainda vamos calcular θ para descobrir qual á a direção verdadeira:

sen ⁡ ( θ / 2 ) = v V S / 2 v A S = ( 70 ) ( 2 ) ( 135 )

θ 2 = 15,0 °

Passo 3

(a) Ok, agora perceba que θ / 2 também é o ângulo que o vetor vermelho v → V S forma com a horizontal!

Então, pela escolha do nosso desenho o vento está soprando a 15 ° ao norte do leste. Mas como também poderíamos ter desenhado o vetor v → A V no sentido oposto, também é possível que o vento esteja soprando a 15 ° ao norte do oeste.

Passo 4

(b) No final das contas, o deslocamento do avião acontece na direção norte.

Mas para fazer isso, ele precisa virar o nariz com um certo ângulo em relação a essa direção, e então deixar o vento fazer a “correção” que o empurra para o norte.

Ou seja, o nariz do avião aponta na direção v → A V . Pelo nosso desenho, esse vetor forma um ângulo θ com a direção norte:

θ = 2 15,0 ° = 30,0 °

E isso pode ser tanto ao leste quanto ao oeste do norte, porque θ pode ser o ângulo no sentido horário ou anti-horário.

Quando o vento sopra 15 ° ao norte do leste, o nariz do avião deve estar 30 ° a oeste do norte, e vice-versa.

Resposta

(a) O vento pode estar soprando 15 ° ao norte do leste, ou 15 ° ao norte do oeste.

(b) Se o vento sopra ao norte do leste, o nariz do avião deve estar 30 ° a oeste do norte. Se o vento sopra ao norte do oeste, o nariz do avião deve estar 30 ° ao leste do norte.

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