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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 86

O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por:

V ( x , y , z ) = A ( x 2 + 3 y 2 + z 2 )

em que A é uma constante. (a) Deduza uma expressão para o campo elétrico E _ na região. (b) O trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste igual a 1,50 μ C é deslocada do ponto (x,y,z)=(0,0,0,250m) até a origem é igual a 6,0x 10 - 5 J . Calcule A. © Determine o campo elétrico no ponto (0,0,0,250m). (d) Mostre que em qualquer plano paralelo no plano xz os contornos equipotenciais são círculos. (e) Qual é o raio do contorno equipotencial correspondente a V=1280 V e y=2,0 m?

Passo 1

letra a)

O campo elétrico é dado por:

E _ = - ∂ V ∂ r

Passo 2

Para E x :

E x = - ∂ V ∂ x = - ∂ ∂ x A x 2 - 3 y 2 + z 2

E x = - 2 A x

Para E y :

E y = - ∂ V ∂ y = - ∂ ∂ y A x 2 - 3 y 2 + z 2

E y = 6 A y

Para E z :

E z = - ∂ V ∂ z = - ∂ ∂ z A x 2 - 3 y 2 + z 2

E z = - 2 A z

O campo será então:

E _ = A - 2 x , 6 y , - 2 z

Passo 3

letra b)

Podemos relacionar trabalho com campo elétrico. Note que a partícula está se movendo 0,250   m no eixo do z !!!!!

W = q ∫ 0,250 0 E _ ⋅ k ^ d z

W = q ∫ 0,250 0 - 2 A z d z = - q A z 2 0,250 0

W = q A 0,250 2

Como no enunciado ele nos deu o trabalho e pediu o A , iremos isolar o A :

A = W q 0,250 2 = 6 ⋅ 10 - 5 1,5 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0,250 2

A = 640   V / m 2

Passo 4

letra c)

Agora ele quer o campo no ponto ( 0,0 , 0,250 )   m .

Já calculamos a forma geral do campo e o valor da constante. Logo precisamos só substituir.

E _ = 640 - 2 ⋅ 0,6 ⋅ 0 , - 2 ⋅ 0,250

E _ = ( 0,0 , - 320 )   V / m

Passo 5

letra d)

Nosso potencial é:

V = A x 2 - 3 A y 2 + A z 2

Para um plano paralelo a x z , y é constante e teremos:

A x 2 + A z 2 = V + 3 A y 2

x 2 + z 2 = V + 3 A y 2 A = R 2

Essa expressão é a equação da circunferência de raio R .

Passo 6

letra e)

Agora ele quer o raio da superfície equipotencial.

Usando a relação do item anterior, temos:

V + 3 A y 2 A = R 2

Agora podemos substituir os valores:

R = 1280 + 3 ⋅ 640 ⋅ 4 640

R = 3,74   m

Resposta

letra a) E _ = A - 2 x , 6 y , - 2 z

letra b) A = 640   V / m 2

letra c) E _ = ( 0,0 , - 320 )   V / m

letra d) R = 3,74   m

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