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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 47

No Problema 46, considere que radiação ionizante produza um íon e um elétron a uma distância de 1,50   c m do longo eixo do fio central do tubo Geiger. Suponha que o fio seja positivamente carregado e tenha uma densidade linear de carga igual a 76,5   p C / m . (a) Neste caso, qual será a rapidez do elétron quando ele colide com o fio? (b) Como a rapidez do elétron se compara com a rapidez final do íon quando ele colide com o cilindro? Explique sua reposta.

Passo 1

  1. Fala ai galera. Mais um exercício :). Bom, aqui queremos determinar a velocidade do elétron. Vamos pensar o seguinte: o fio cria um campo elétrico dado por:

    2. E = λ 2 π ε 0 ⋅ 1 x

    vamos chamar λ 2 π ε 0 de uma constante C (apenas para facilitar nossa notação). Assim, o elétron ficará sujeito a uma força do tipo:

    F = e E = C e x

    Ou seja, a aceleração do elétron será dada por:

    m d v d t = C e x

    Precisamos resolver essa equação...

    Passo 2

    Vamos pensar um pouco. Usando a regra da cadeia poderemos escrever:

    m d v d x d x d t = C e x

    Mas d x d t = v . Logo,

    m v d v d x = C e x ⟹ v   d v = C e m d x x

    Agora, basta integrar, desde a posição inicial até a posição final! Temos

    ∫ 0 v v   d v = C e m ∫ x i x f C e m d x x 1 2 v 2 = C e m ln ⁡ x f x i ⟹ v = 2 C e m ln ⁡ x f x i

    Passo 3

    Agora ficou fácil... bastará substituir os números (levando em conta o sinal do elétron)...

    v = λ e π m ε 0 ln ⁡ x f x i v = 76,5 × 10 - 12 - 1,602 × 10 - 19 π 9,1 × 10 - 31 8,85 × 10 - 12 ln ⁡ 0,250 15 - 0,250 v = 1,43 × 10 6   m / x

    Passo 4

  2. Primeiramente, como o íon é positivo, então ele irá bater contra a parede do tubo, não no fio. Além disso, como v é diretamente proporcional a 1 / m e sendo a massa do íon muito maior do que do elétron, a velocidade do íon será muito menor.

Resposta

  1. v = 1,43 × 10 6   m / s
  2. A velocidade será muito menor.
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