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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 40.Problemas adicionais - Ex. 76

(Um problema que envolve o princípio de correspondência.) Estime (a) o número quântico λ associado ao movimento da Terra em torno do Sol; (B) o número de orientações permitidas do plano da órbita da Terra, de acordo com as regras de quantização do momento angular. (c) Determine o valor de θ m á x , metade do ângulo do ângulo do menor cone que pode ser varrido por uma perpendicular à órbita da Terra quando p planeta se move em torno do Sol.

Passo 1

O número quântico l é tal que satisfaz a seguinte relação:

l l + 1 = L ℏ ,       o momento angular é quantizado.

L = m v r , onde r é o raio da orbita Terra e v é a velocidade orbital com que a Terra orbita o Sol e m a massa da Terra.

l l + 1 = m v r ℏ

  1. O raio da orbita da Terra segundo o Apêndice B r = 150.10 9   m , m = 5,98.10 24   k g e a velocidade em media é v = 29,8.10 3 m s .

    2. l l + 1 = 5,98.10 24   k g 150.10 9   m 29,8.10 3 m s 1,054.10 34   J . s

    l l + 1 = 3.10 74

    Para esse valor l l + 1 ∼ l 2 = l

    Assim nós teremos um único valor possível de l.

    l = 3.10 74

    Passo 2

  2. O número de orientações permitidas é 2 l + 1 = 2 . 3.10 74 + 1 = 6,10 74

Passo 2

Nós temos que o cosseno do θ m i n é:

cos ⁡ θ m i n = m l m a x l l + 1 = m l m a x l 2 + l = l l 2 + l = 1 1 + 1 l ∼ 1 - 1 2 l

Pois θ m i n é pequeno.

Cos ⁡ θ m i n = 1 - θ m i n 2 2

Logo nós teremos :

θ m i n 2 2 = 1 2 l

θ m i n = 1 l = 1 3.10 74 = 6.10 - 38   r a d

Assim de acordo com o princípio da correspondência, os efeitos quânticos desaparecem quando temos altas energias. Nesse caso, como ℏ L são extremamente pequenos, assim os efeitos quânticos são desprezíveis e θ m i n para todos os efeitos é nulo, assim como prevê a teoria clássica.

Resposta

  1. 3.10 74
  2. 6,10 74
  3. 6.10 - 38   r a d
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