Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 61
Um próton, de massa , se move com rapidez inicial diretamente contra o centro de uma partícula de massa , que está inicialmente em repouso. As duas partículas têm carga positiva, e portanto, se repelem. (As forças repulsivas são suficientes para prevenir um contato direto entre as duas partículas.) Determine a rapidez da partícula (a) quando a distância entre as duas partículas é mínima e (b) depois, quando as partículas estão bem afastadas.
Passo 1
Olá, querido! Como vai?
Vamos entender o problema: o próton, que tem massa , está se movendo em direção à partícula , de massa , que está inicialmente em repouso. Como as duas são carregadas positivamente, elas vão se repelir.
E aí mesmo que o próton esteja indo em direção a partícula , eles nunca chegam a se tocar por causa dessa repulsão. O que acontece é que eles ficam próximos a uma distância mínima e depois se afastam indefinidamente.
Aí o que ele quer é a velocidade da partícula nessa distância mínima e quando eles já estão bem afastados.
Passo 2
a) Bem, vamos refletir sobre essa situação da distância mínima. A energia cinética de um sistema pode ser dividida em duas partes:
é a energia cinética do centro de massa. Se não há forças externas, essa energia não varia. é a energia cinética dos objetos relativa ao centro de massa: essa é calculada em relação a velocidade do centro de massa, e pode variar em qualquer situação.
Como a gente não tem forças externas atuando nesse sistema, não muda. Então o que acontece na distância mínima é que toda energia vira energia potencial para que a aproximação seja possível (já que há forças de repulsão contra essa aproximação).
Então temos que a única energia cinética no momento de distância mínima é . E por isso, nesse instante, os dois objetos do sistema se movem na mesma velocidade, a velocidade do centro de massa .
Passo 3
Assim, a velocidade da partícula nesse momento vai ser . E a gente precisa achar essa bonita.
Aí vamos usar conservação da quantidade de movimento. No primeiro momento, apenas o próton tem velocidade, então:
Onde é a velocidade inicial dele. Já no segundo momento, as duas partículas têm a mesma velocidade . Aí a quantidade de movimento é a soma da quantidade de cada uma delas:
Então a conservação fica:
Substituindo os valores das massas e :
Passo 4
b) Agora queremos a velocidade da partícula quando elas já estão bem afastadas. Como não temos forças externas, vamos considerar que a colisão é elástica.
Então vamos começar usando a conservação quantidade de movimento. No primeiro momento só temos o próton se movendo, então
Já quando elas se afastam, ambas se movem, mas agora com velocidades diferentes e desconhecidas. Então temos:
A conservação fica:
Substituindo os dados
Passo 5
Como a gente tem duas incógnitas, precisamos de mais uma equação. A gente pode usar a equação do coeficiente de restituição, que é a razão entre rapidez de separação e a rapidez de aproximação. Para o nosso caso, ela fica assim:
Temos que porque consideramos que a colisão é elástica. E lembrando que :
Arrumando:
Colocando: com isso na equação da quantidade de movimento, vamos ficar com o seguinte: