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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Adicionais - Ex. 112

Quatro partículas, todas de massa m = 0,2 k g , ocupam os vértices de um quadrado com l = 0,5 m de lado. As partículas estão ligadas por uma barra de massa desprezível. Este corpo rígido pode girar em um plano vetical em torno de um eixo horizontal. A que passa por uma das partículas. O corpo é liberado a partir do repouso com a barra A B na horizontal, como mostra a figura abaixo.

( a ) Qual é o momento de inércia do corpoem relação ao eixo A ?

( b ) Qual é a velocidade angular do corpo em relação ao eixo A no instante em que a barra A B passa pela posição vertical?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar o cálculo de momento de inércia e dinâmica rotacional?

O problema pede o momento de inércia em relação ao eixo A , então temos que analisar a distância perpendicular das massas até o eixo de rotação.

Como uma das massas está no eixo de rotação, essa não contabiliza para o momento de inércia. Duas delas estão a uma distância r = l = 0,5 m e a outra está na diagonal do quadrado e essa distância vale r = l 2 .

Outra coisa, as barras são de massa desprezível, então elas também não contam no cálculo de I .

Ok? Agora podemos passar para o cálculo de I :

I = m r 2 = 2 . m l 2 + m l 2   2

I = 4 m l 4 = 4.0,2 . 0,5 2 = 0,2 k g m ²

Passo 2

Agora o problema quer a velocidade angular. Pra entender melhor o que está contecendo eu fiz um desenho pra você:

Assim que o sistema é liberado do repouso, a força gravitacional que está agindo em cada massa faz com que o sistema gire, em torno do eixo de rotação, em sentido horário.

A força gravitacional está assinalada em cada massa no desenho. Como podemos ver apenas duas das três forças fazem torque sobre o sistema, ocasionando na rotação.

Daí você se pergunta: mas por que isso? Eu respondo: o eixo vertical não coincide com a direção da força peso aplicada em uma das massas ali em cima? Sim! Então o braço de alavanca é zero, logo o torque é nulo!

Para as outras massas temos torques não nulos. Pela segunda lei de Newton para rotações temos:

τ → r e s = I . α → r e s

m g . l s e n 90 ° + m g . l 2 s e n 135 ° = I . α

m g l + 2 2 2 m g = I α

2 m g l I = α = 2.0,2.9,8.0,5 0,2 = 9,8 r a d / s ²

Agora que sabemos a aceleração angular, podemos determinar a velocidade angular ω . Sabendo que a variação angular foi de π / 2 , pelas equações de movimento rotacional temos:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α ( Δ θ )

ω 2 = 0 + 2.9,8 . π 2

ω = 5,54 r a d / s

É isso! Vamos pra próxima?

Resposta

( a ) 0,2 k g m ²  

b 5,54 r a d / s

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