Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.Problemas Adicionais - Ex. 70
O raio de um buraco negro é o raio de uma superfície esférica chamada horizonte de eventos. Nenhuma informação a respeito da região situada no interior do horizonte de eventos pode chegar ao mundo exterior. De acordo com a teoria da relatividade geral de Einstein, , onde é a massa do buraco negro e é a velocidade da luz.
Suponha que você deseje estudar um buraco negro a uma distância de . Para evitar efeitos desagradáveis, você não quer que a diferença entre a aceleração gravitacional dos seus pés e da sua cabeça exceda quando você está com os pés (ou a cabeça) na direção do buraco negro. (a) Qual é o limite tolerável da massa do buraco negro, em unidades da massa do Sol? (Você precisa conhecer seu peso). (b) O limite calculado no item (a) é um limite superior (você pode tolerar massas menores) ou um limite inferior (você pode tolerar massas maiores)?
Passo 1
Vamos ver se entendemos mesmo o problema. Um buraco negro é um corpo extremamente denso, ou seja, ele tem uma massa muito alta concentrada em um espaço relativamente muito pequeno.
Uma consequência disso é que a aceleração da gravidade varia de forma muito brusca quando nos aproximamos de sua superfície, ao ponto em que a diferença dessa aceleração nos seus pés e na sua cabeça poderia ser suficiente para partir você ao meio.
A questão quer saber qual é o limite da massa do buraco negro para que, a de distância, essa diferença não exceda . Vamos lembrar da fórmula para a aceleração da gravidade:
Onde e é a massa do buraco negro.
Passo 2
Queremos limitar a diferença entre a aceleração quando e quando , onde é a sua altura.
O seu instinto inicial pode ser substituir esses dois valores na fórmula e calcular a diferença, mas tem um jeito mais fácil. Como a sua altura é muito menor do que , podemos considerar esse como um incremento no raio.
Vamos diferenciar a fórmula acima para ver no que dá:
Logo:
Só pra garantir que estamos entendendo: essa fórmula é o módulo do desvio na aceleração da gravidade quando fazemos um pequeno desvio no raio .
Passo 3
Agora vamos usar a fórmula que o enunciado nos deu , e igualar
Como queremos o limite da massa, temos que fazer , ou seja:
Vamos considerar uma altura qualquer, por exemplo , isso quer dizer que:
Como a massa do sol é , para obter a resposta em massas solares:
Calculado para uma altura
Passo 4
Resta saber se esse é um limite superior ou inferior.
Perceba que pela fórmula dada no enunciado, não é possível alterar a massa do buraco negro sem mexer no raio também. Essas duas grandezas seguem a relação . Isso quer dizer que quanto maior for a massa do buraco negro, maior será seu raio.
Vamos voltar para a fórmula do desvio:
Ou seja, quando aumentamos a massa (e consequentemente o raio ), por mais estranho que pareça, estamos diminuindo a diferença da aceleração da gravidade entre as extremidades do nosso corpo, ou seja, a resposta encontrada é um limite inferior.
Resposta
(a) para uma altura
(b) É um limite inferior.