Um satélite gira em torno de um planeta de massa desconhecida em uma circunferência com 2,0   .   10 7   m de raio. O módulo da força gravitacional exercida pelo planeta sobre o satélite é F = 80   N . (a) Qual é a energia cinética do satélite? (b) Qual seria o módulo F se o raio da órbita aumentasse para 3,0   .   10 7   m ?

Passo 1

Começamos com apenas duas informações: o raio de órbita do satélite e a força gravitacional que mantém o satélite nessa órbita.

Sabemos que, se a órbita é circular, a força gravitacional age como força centrípeta, ou seja:

F g = m v 2 r = 80   N

Vamos usar essas informações para descobrir a energia cinética:

K = m v 2 2

Passo 2

Vamos voltar para nossa igualdade entre força gravitacional e força centrípeta:

m v 2 r = 80

Como sabemos r = 2   .   10 7   m , é só substituir para achar o valor de m v 2 :

m v 2 = 80 . 2.10 7 = 160   .   10 7   J

Voltando para a fórmula da energia cinética:

K = m v 2 2 = 160   .   10 7 2 = 80   .   10 7   J

Já respondemos a letra (a)!

Passo 3

Agora queremos ver como ficaria o módulo de F se o raio da órbita aumentasse de 2,0   .   10 7 para 3,0   .   10 7 metros.

Nesse caso, se r ' é o raio novo e r é o raio antigo:

r ' r = 3,0.10 7 2,0.10 7 = 3 2

Agora, olhando para a fórmula da força gravitacional:

F g = G M m r 2

A razão entre a força nova F ' e a força antiga F vai ser:

F ' F = G M m r ' 2 G M m r 2 = r 2 r ' 2

Ou seja:

F ' F = r r ' 2 = 2 3 2

Então:

F ' = 4 9 F = 4 9 80 = 36   N

Pronto!

Resposta

(a) K =   80   .   10 7   J

(b) F ' = 36   N

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