Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 39
A rapidez de um asteroide é no periélio e no afélio. (a) Determine a razão entre as distâncias de afélio e de periélio. (b) Na média, este asteroide está mais afastado ou mais próximo do sol do que a Terra? Explique.
Passo 1
(a) A gente quer a razão entre a distância máxima e mínima do asteroide até o sol.
Nesse item vamos fazer uma conservação do momento angular para relacionar as distâncias. Isso porque na trajetória do asteroide o momento angular se conserva. Olha só:
Vamos relembrar a fórmulinha da quantidade de momento angular
Onde é a massa do objeto, é a velocidade, é a distância entre o objeto e o centro da trajetória (raio orbital), no caso, o sol. E é o ângulo entre o vetor velocidade e a distância .
Quem é ? Precisamos lembrar aqui que no afélio e no periélio nossas velocidades são perpendiculares ao raio orbital. Ou seja, o ângulo entre e vai ser .
Logo, considerando que o asteroide tem massa , para o afélio temos
E para o periélio temos
Repara que é a mesma porque o asteroide não muda de massa.
Então vai ficar assim a nossa conservação de momento angular
Logo,
Passo 2
Isolando as distancias:
Repara que era exatamente o que a gente queria, uma razão entre as distâncias do asteroide até o sol. Substitindo os dados do problema
Passo 3
(b) Para responder essa, precisamos lembrar da terceira lei de Kepler:
é o período do corpo, é uma constante e é a média entre e .
A ideia é quanto maior for maior é , ou seja, mas lento é o corpo (já que ele demora mais tempo, maior, para dar a volta em relação ao sol).
Se o corpo é mais lento, sua velocidade é menor. Ou seja, quando maior , maior é e menor é a velocidade do corpo. Então, quanto maior a distância do corpo em relação ao sol, menor é sua velocidade.
Então podemos responder essa pensando: quem é tem maior velocidade? A Terra ou o asteroide?
Passo 4
Qual é a velocidade média da Terra? Cara, no apêndice B, temos que a velocidade orbital média da Terra é
Já a velocidade máxima do nosso asteroide é a do periélio, que vale .
Quem tem a menor velocidade? O asteroide, certo?
Então é ele que vai estar mais longe do sol, já que seu período é maior, assim é maior.
Resposta
- Quanto mais perto um objeto está do sol, menor sua velocidade. Assim, como a velocidade orbital da terra é aproximadamente e a velocidade da nosso asteroide é no máximo , concluímos que nosso asteroide está mais afastado do Sol.