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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 14

Uma região esférica tem carga uniforme por unidade de volume ρ . Seja r → o vetor do centro da esfera até um ponto genérico P dentro desta. (a) Mostre que o campo elétrico c m P é dado por E → = ρ r → / 3 ϵ 0 . (b) Uma cavidade esférica é criada na esfera, conforme indicado na Fig. 27-39. Usando o conceito de superposiçüo, mostre que o campo elétrico em todos os pontos no interior da cavidade é E → = ρ a → 3 / ϵ 0 (campo uniforme), onde a → & o vetor que liga o centro da esfera com o centro da cavidade. Observe que ambos os resultados são independentes do raio da esfera e da cavidade.

Passo 1

(a) O problema tem simetria esférica, então use uma superfície gaussiana que é uma casca esférica. O campo E ⃗ será perpendicular à superfície, então a lei de Gauss será simplificada para

q e n c / ϵ 0 = ∮ E → ⋅ d A → = ∮ E d A = E ∮ d A = 4 π r 2 E .

C o n s e q u e n t e m e n t e ,   E = q e n c / 4 π ϵ 0 r 2 .

q e n c = 4 π ∫ ρ r 2 d r = 4 π ρ r 3 / 3 , então

E = ρ r / 3 ϵ 0

e é direcionado radialmente para fora do centro. Então E → = ρ r → / 3 ϵ 0

Passo 2

(b) O campo elétrico no buraco é dado por E → h = E → - E → b , onde E → é o campo da parte (a) e E → b é o campo que seria produzido pela matéria que estaria em o buraco se o buraco não estivesse lá. Então

E → b = ρ b → / 3 ϵ 0

onde b → é um vetor apontando do centro do furo. Então

E → h = ρ r → 3 ϵ 0 - ρ b → 3 ϵ 0 = ρ 3 ϵ 0 ( r → - b → )

Mas r → - b → = a → ,   e n t ã o   E → h = ρ a → / 3 ϵ 0

Resposta

a. E → = ρ r → / 3 ϵ 0

b. E → h = ρ a → / 3 ϵ 0

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