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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 24.1 - Ex. 38

Qual é a capacitância equivalente (em termos de C , que é a capacitância de um dos capacitores) da escada infinita de capacitores mostrada na Figura 24-39?

Passo 1

Cara... Anota uma coisa aí! Toda vez que você tiver que resolver um circuito infinito, você vai pegar os primeiros (no caso os dois primeiros capacitores) e o restante, você vai substituir por C e q ...

POW! Repare então que podemos encontrar a capacitância total desse circuito fazendo...

C t o t = C C + C e q C + C + C e q

Onde C t o t é a simplificação da simplificação, ou seja...

Passo 2

Mas olha que interessante... O circuito é infinito! Isso significa que C t o t é igual ao C e q , afinal no infinito não importa muito, neh? Então...

C t o t = C C + C t o t C + C + C t o t     →

Então agora basta isolar...

C t o t = C 2 + C C t o t 2 C + C t o t     →

C t o t 2 C + C t o t = C 2 + C C t o t     →

2 C C t o t + C t o t 2 = C 2 + C C t o t     →

Passando tudo para um lado só...

2 C C t o t + C t o t 2 - C 2 - C C t o t = 0   →

C t o t 2 + C C t o t - C 2 = 0   →

Repare que isso aí é uma equação do segundo grau, ou seja...

C t o t = - C ± C 2 - 4 - C 2 2   →

C t o t = - C ± 5 C 2 2   →

C t o t = - C ± C 5 2   →

Como não faz sentido capacitância negativa...

C t o t = - C + C 5 2   →

C t o t = C 5 - 1 2  

Resposta

C t o t = C 5 - 1 2  

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