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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas Desafiadores - Ex. 125

Um relógio de pêndulo deve fazer um ‘tique’ de um segundo para cada oscilação do pêndulo de uma extremidade até a outra (dois ‘tiques’ para cada período completo). a) Um relógio de pêndulo adianta no verão e atrasa no inverno, ou ocorre o inverso? Explique o seu raciocínio. b) Um dado relógio de pêndulo mantem o tempo corretamente a uma temperatura de 20   ° C . O eixo do pêndulo é feito de aço e sua massa pode ser desprezada em comparação com a massa do peso na extremidade do pêndulo. Qual é a fração da variação de comprimento do eixo do pendulo quando ele for esfriado até 10   ° C ? c) Quantos segundos por dia o relógio ganha ou perde com uma temperatura de 10   ° C ? d) Qual é o intervalo de controle de temperatura para que o relógio não atrase nem adiante mais do que 1,0   s por dia? Sua resposta depende do período do pêndulo?

Passo 1

a) No verão o pêndulo expande, e seu comprimento passa a ser maior que o comprimento no inverno, o que faz com que seu momento de inércia aumente, atrasando os tiques. Enquanto no inverno ele contrai e o comprimento é menor, adiantando os tiques.

Passo 2

b) A fração de variação é a razão entre a variação do comprimento e o comprimento inicial, podemos usar a relação de dilatação linear para encontrarmos esse valor:

∆ L L 0 = α ∆ T

Usando o coeficiente do aço e a variação de temperatura dada:

∆ L L 0 = 1,2 × 10 - 5   ° C - 1 10   ° C - 20   ° C

∆ L L 0 = 1,2 × 10 - 4

∆ L L 0 = 1,2 × 10 - 4

Ignoramos o sinal negativo porque estamos procurando a fração de variação.

Passo 3

c) Para sabermos quantos segundos o relógio ganha ou perde, vamos usar a relação entre o período e o comprimento do pêndulo:

τ = 2 π L g

Chamamos o período de τ para não confundir com T da temperatura.

Para relacionarmos o acréscimo ou a diminuição do período com ∆ L L 0 , vamos precisar fazer a diferença entre os períodos inicial e final, e dividir por τ :

∆ τ τ = 2 π L f g - 2 π L 0 g 2 π L g

Simplificando:

∆ τ τ = L f - L 0 L

Podemos fazer a seguinte aproximação, considerando que a variação entre os comprimentos é muito menor que o comprimento inicial, o que é verdade, pela razão que fizemos na letra (b):

∆ τ τ = L f - L 0 L 0 ≅ 1 2 ∆ L L 0

Substituindo o valor que encontramos na letra (b) para ∆ L L 0 :

∆ τ τ = 1 2 - 1,2 × 10 - 4 = 6,0 × 10 - 5

Como um dia tem 86,400   s , o tempo que o relógio vai variar é:

6,0 × 10 - 5 86,400   s = - 5,2   s

Passo 4

d) Para sabermos esse valor, basta a gente substituir a relação de expansão linear na equação que deduzimos no Passo 3:

∆ τ τ = 1 2 ∆ L L 0 = 1 2 α ∆ T

Usamos o módulo porque o relógio não pode atrasar nem adiantar num dado valor.

Como o enunciado diz que o relógio não pode ultrapassar 1,0   s de variação, a gente substitui esse valor em ∆ τ para calcularmos ∆ T necessária para manter o relógio sem atraso ou adiantamento:

∆ T = 2 α ∆ τ τ

∆ T = 2 ( 1,2 × 10 - 5   ° C - 1 ) ( 1,0   s ) 86,400   s = 1,9   ° C

Não precisamos do período do relógio só da fração da variação dele.

Resposta

b   1,2 × 10 - 4

c - 5,2   s

d   1,9   ° C

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