Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 4
Num relógio de pêndulo, o pêndulo é uma barra metálica, projetada para que seu período de oscilação seja igual a . Verifica-se que, no inverno, quando a temperaturá média é de , o relógio adianta, em média por semana; no verão, quando a temperatura média é de , o relógio atrasa, em média minuto por semana. (a) Calcule o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo. (b) A que temperatura o relógio funcionaria com precisão?
Passo 1
Vamos lembrar da fórmula para o período de um pêndulo:
Essa fórmula nos diz que, quando o comprimento do pêndulo variar por conta da dilatação, o seu período também vai mudar.
O relógio foi projetado para funcionar com um período de segundo, então o período correto é:
Se o relógio adianta por semana no inverno, isso quer dizer que o período no inverno diminui um pouco (ou seja, ele oscila mais rápido do que deveria):
Aqui nós simplesmente dividimos os de adiantamento pelo número de segundos em uma semana. Assim descobrimos qual é a mudança em cada período.
No verão, o relógio atrasa por semana, então seu período aumenta um pouco (ele oscila mais devagar do que deveria) então:
Passo 2
Usando essas informações podemos calcular qual deve ser o comprimento do pêndulo em cada uma das estações.
Quando o pêndulo está no período correto, temos:
Para o verão e o inverno, temos que considerar a dilatação do comprimento:
E usando o fato de que :
Com isso podemos escrever um sistema:
Onde é a temperatura do pêndulo quando está com o período correto.
Passo 3
Agora vamos resolver o sistema para encontrar . Subtraindo a segunda equação da segunda, temos:
Substituindo os valores numéricos:
Passo 4
E agora, para determinar o valor da temperatura ideal , é só usar qualquer uma das duas equações do nosso sistema:
Substituindo os valores numéricos:
Resposta
(a) O coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo é .
(b) A temperatura correta para o funcionamento do relógio é .