A aceleração da gravidade g varia com a localização geográfica devido à rotação da Terra e porque a Terra não é perfeitamente esférica. Isto foi constatado pela primeira vez no século X V I I , quando se onservou que um relógio de pêndulo cuidadosamente regulado para dar a hora certa em Paris se atrasava cerca de 90   s por dia próximo ao equador. (a) Mostre, usando a aproximação diferencial, que uma pequena variação da aceleração da gravidade Δ g produz uma pequena variação no período Δ T de um pêndulo, dada por Δ T T ≅ - 1 2 Δ g g . (b) Que variação de g é necessária para provocar uma variação no período de 90   s por dia?

Passo 1

(a) Primeiro precisamos lembrar da relação entre o período de um pêndulo e a aceleração da gravidade:

T =   2 π   L g

Agora vamos derivar T em relação à g :

d T d g = 2 π   d d g L g

E aplicando a regra da cadeia ficamos com a seguinte expressão:

d T d g = 2 π   1 2 g L - L g 2

Agora vamos simplificar um pouco isso (multiplicando o lado direito por L / L e g / g ) :

d T d g = 1 2   2 π L g - 1 g

d T d g = - T 2 g

E agora é só arrumar um pouco para encontrar a expressão que foi dada no enunciado:

Δ T T = - 1 2 Δ g g

Onde nós substituímos d T por Δ T e d g por Δ g , o que é uma boa aproximação para pequenas variações.

Passo 2

Vamos isolar Δ g na equação que acabamos de demonstrar:

Δ T T = - 1 2 Δ g g

Δ g = - 2 g Δ T T

E queremos saber qual deve ser a variação Δ g quando o período é variado em 90   s por dia:

Δ g = - 2 g 90 24 60 60

| Δ g | = 2,0   c m / s 2

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Δ g = 2,0   c m / s 2 .

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