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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 2

2. Um reservatório de paredes verticais, colocado sobre um terreno horizontal, contém água até a altura h . Se abrirmos um pequeno orifício numa parede lateral, (a) A que distância máxima d da parede o jato de água que sai pelo orifício poderá atingir o chão? (b) Em que altura deve estar o orifício para que essa distância máxima seja atingida?

Passo 1

a) Bora lá pro nosso segundo probleminha de hidrodinâmica do M ó y s e s !

Bom! Primeiramente vamos fazer um esboço dessa situação:

Olha só! Utilizando Bernoulli, podemos encontrar a velocidade v do jato de água que passa pelo orifício (Iremos considerar que a velocidade de escoamento v 0   da água no topo do reservatório é baixíssima) da seguinte maneira...

P 0 ρ g + v 0 2 2 g + h = P ρ g + v 2 2 g + h - z

Só que como ambos os nossos pontos estão em contato com a atmosfera:

P = P 0

A velocidade de escoamento no topo nos já consideramos como baixíssima... Desse jeito:

v 0 = 0

Assim, ficamos com:

v 2 2 g + h - z = h

v 2 2 g = z

v = 2 g z

Que beleza! Obtemos então que a velocidade de saída da água no orifício é dada pela diferença de altura entre os dois pontos que estamos analisando.

Passo 2

Agora, vamos descobrir o quanto a água que sai do orifício na altura h - z demora para chegar até o chão... Para isso, usemos a equação para o movimento oblíquo. Verticalmente, o movimento é uniformemente acelerado e o tempo de queda é dado por:

h - z = g t 2 2

t = 2 ( h - z ) g

Onde h - z representa a distância entre o orifício e o chão e t   representa o intervalo de tempo necessário para que essa distância seja percorrida pelo jato.

E horizontalmente, o movimento é uniforme. Assim, uma vez que já sabemos o tempo de queda, para obter a distância horizontal x do jato de água, basta fazer o produto da velocidade pelo tempo:

x = v t

Só que:

v = 2 g z

t = 2 ( h - z ) g

x = 2 g z ⋅ 2 ( h - z ) g

x = 4 g z ( h - z ) g

x = 2 z h - z 2

Passo 3

Para encontrar o valor máximo de x , que chamaremos de x m á x ; basta derivar a expressão do x e igualar a zero.

d x d z = d d z 2 z h - z 2 = 0

1 2 h - 2 z z h - z 2 = 0

h - 2 z = 0

z = h 2

Passo 4

b) E na posição z = h / 2   , o nosso x m á x vai valer:

x m á x = 2 h 2 h - h 2 2

x m á x = 2 h 2 2 - h 2 4

x m á x = 2 h 2 4 = 2 ⋅ h 2 = h

Resposta

a)

z = h 2

b)

x m á x = h

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