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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 19

A resistência elétrica do ar é “rompida” quando a intensidade de campo elétrico atinge 3,0 ×   10 6 N C , causando uma descarga. Um capacitor de placas paralelas é construído com dois discos de 4,0   c m de diâmetro. Quantos elétrons devem ser transferidos de um disco para o outro a fim de gerar uma descarga entre os discos?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Precisamos antes saber qual o campo elétrico em um disco e, assim, definir o campo elétrico em dois discos paralelamente próximos. Assim, chega junto comigo que vamos fazer.

Saca só:

Sabemos pela definição de campo que:

E i = 1 4 π ε 0 ∫ d q r ' 2

Vemos que o campo em x e y se cancelam, logo:

E → = E z cos ⁡ θ = 1 4 π ε 0 ∫ d q r ' 2 cos ⁡ θ

Sabemos que a densidade de carga é dada por:

η = q A

d q = η   d A = η d π r 2 = η 2 π r   d r

Assim:

E → =   1 4 π ε 0 ∫ η 2 π r d r r ' 2 cos ⁡ θ

Para:

r ' = r 2 + z 2 1 2

E:

cos ⁡ θ = r r ' = r r 2 + z 2 1 2

Assim ficando:

E → = E z cos ⁡ θ = 1 4 π ε 0 ∫ η   2 π r d r r 2 + z 2   r r 2 + z 2 1 2 = η z 2   ε 0 ∫ r r 2 + z 2 3 2   d

Integrando de 0 ≤ r ≤ R , temos que o campo sobre um disco é:

E → = η 2 ε 0 1 - z R 2 + z 2

Para z ≫ R :

E → = η 2 ε 0 1 - 1 R 2 z 2 + 1

Estando muito próximo do disco R ≫ z de forma que:

E = η 2 ε 0

Sendo de placas paralelas muito próximas, o campo delas se soma, logo:

E = 2 η ε 0 2 = η ε 0

Sendo:

η = Q A

Portanto, o campo elétrico entre dois disco muito próximos é de:

E = Q ε 0 A

Passo 2

Pede-se quantos elétrons que passam, assim achemos Q. Logo:

Q = E * ( ε 0 A )

Aplicando valores

Q = 3.0 × 10 6 N C 8.85 × 10 - 12 C 2 N m 2 π 1 2 0.04 m 2 = 33.4   n C

Passo 3

Logo a quantidade de carga C já achamos, agora para quantos elétrons transferidos é:

Q = n e → n = Q e

Aplicando valores:

n = 33.4 × 10 - 9   C 1.60 × 10 - 19   C = 2.1 × 10 11

Resposta

A quantidade de elétrons que devem ser transferidos é de:

n = 2.1 × 10 11

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