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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Exercício - Ex. 20

Um resistor de 15,0 Ω e uma bobina estão conectados em série a uma bateria de 6.3 V com resistência interna desprezível e uma chave fechada.

a Após 2,0   m s da abertura da chave, a corrente diminuiu para 0.21 A . Calcule a indutância da bobina.

b Calcule a constante de tempo do circuito

c Quanto tempo após a chave ser fechada a corrente atingirá 1.0 % do seu valor original?

Passo 1

Temos que observar que a corrente decai exponencialmente. Assim, depois que a chave é aberta temos que a corrente será

i = I 0 ⋅ e - t R L     i

E nossa constante de tempo será dada por τ = L / R . Dessa forma, para encontrarmos a indutância da bobina vamos fazer

I 0 = 6.3 V 15.0 Ω = 0.42   A

Agora, modificando i para isolarmos L teremos

i = I 0 ⋅ e - t R L → i I 0 =   e - t R L → ln ⁡ i I 0 = - t R L → L = - t R ln ⁡ i I 0  

Substituindo os dados que temos vamos obter

L = - 2.0   m s ⋅ ( 15 Ω ) ln ⁡ 0.21 0.42 ≈ 43.3   m H

Temos, então, tudo que é necessário para encontrarmos a constante de tempo que será dada por

τ = L R → τ = 43.3   m H 15.0 Ω   = 2.89   m s

Passo 2

Para acharmos o tempo desejado pelo exercício no último vamos resolver i para t e, assim, obteremos

i = I 0 ⋅ e - t R L → i I 0 = e - t R L → ln ⁡ i I 0 = - t R L → ln ⁡ i I 0 = - t ⋅ L R - 1  

ln ⁡ i I 0 = - t ⋅ τ - 1 → ln ⁡ i I 0 = - t τ

t = - τ ⋅ ln ⁡ i I 0 = - 2.89   m s ⋅ ln ⁡ 0.01 ≈ 13.3   m s

Pronto, está resolvido o nosso exercício.

Resposta

a   L = 43.3   m H

b τ = 2.89   m s

c   t =   13.3   m s

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