Um rio de 200   m de largura corre com velocidade constante de 1,1   m / s em uma floresta, na direção leste. Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move com uma velocidade escalar constante de 4,0   m / s em relação à água. Existe outra clareira na margem norte, 82   m rio acima do ponto de vista de um local da margem sul exatamente em frente à segunda clareira. (a) Em que direção o barco deve ser apontado para viajar em linha reta e chegar à clareira da margem norte? (b) Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar à clareira?

Passo 1

Então galera, nesse tipo de problema é sempre importante visualizar o que está acontecendo, para isso, desenhamos a trajetória realizada pelo barco começando na clareira da margem sul, traçando uma reta de 200   m de comprimento na direção norte (para cima, na figura):

Que atravessa o rio, e uma reta na direção oeste (rio acima, para a esquerda no desenho), ao longo da margem norte do rio, por uma distância dada como:

d = 82   m + 1,1   m/s t

Na qual o termo que depende de t é a distância que o barco irá percorrer paralelamente às margens durante o tempo   t por causa da correnteza do rio. Dessa forma temos que o desenho formado é um triângulo retângulo.

A hipotenusa desse triângulo retângulo (indicada por uma seta na figura) também depende de t e da velocidade do barco (em relação à água) e deve ser igual à “soma” pitagórica dos lados do triângulo:

4,0 t 2 = 200 2 + 82 + 1,1 t 2

4,0 t =   200 2 + 82 + 1,1 t 2

O que nos leva a uma equação do segundo grau em t:

46724 + 180,4 t - 14,8 t 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau da forma como já estamos acostumados achamos que:

t ≅ 62,6   s

Até aqui , de boa? Bora continuar que ainda não acabou!

Passo 2

Usando a trigonometria, nós sabemos que o ângulo entre o cateto norte ( 200   m ) do triângulo e a hipotenusa (que é medido “a oeste do norte”) é dado por:

θ = tan - 1 ⁡ 82 + 1,1 t 200

θ = tan - 1 ⁡ 82 + 1,1 62,6 200

θ = tan - 1 ⁡ 151 200

Portanto:

θ = 37 °

Passo 3

O tempo que leva para o barco atravessar o rio já foi calculado anteriormente para acharmos o valor do ângulo pedido no item anterior . Temos que:

t = 62,6   s

Resposta

  1. θ = 37 °   ao oeste do norte
  2. t = 62,6   s

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então!

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