Uma rocha com massa m desliza com velocidade inicial v 0 sobre uma superfície horizontal. Uma força retardadora F r que a superfície exerce sobre a rocha é proporcional à raiz quadrada da velocidade instantânea da rocha ( F r = k v 1 2 ) . a) Obtenha expressões para a velocidade e a posição da rocha em função do tempo. b) Quando a rocha chega ao repouso, em termos de m ,kev 0 ? c) Qual é a distância da rocha em relação ao seu ponto de partida quando chega ao repouso, em termos de m ,kev 0 ?

a )v t = v 0 - v 0 k t m + k 2 t 2 4 m 2 ; x t = v 0 t - v 0 k t 2 2 m + k 2 t 3 12 m 2 b )t = 2 m v 0 k c )x = 2 m v 0 3 2 k

Enunciado

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma rocha com massa desliza com velocidade inicial sobre uma superfície horizontal.

Uma força retardadora que a superfície exerce sobre a rocha é proporcional à raiz quadrada da velocidade instantânea da rocha, ou seja:

Onde é uma constante.

Queremos encontrar as expressões para a velocidade e a posição da rocha em função do tempo.

Também queremos descobrir o tempo e a distância em que a rocha chega ao repouso em termos da massa a constantee a velocidade inicial.

Para isso, utilizaremos a segunda Lei de Newton:

Onde é a força resultante, é a massa e é a aceleração.

Bora lá!! 😉

Como a aceleração é a derivada da velocidade, temos,

E temos uma expressão da força em função da velocidade que o enunciado forneceu:

Podemos integrar e determinar uma expressão para a velocidade em função do tempo:

E podemos relacionar a velocidade com a derivada da posição:

Agora é só multiplicar por dos dois lados e integrar:

Logo,

A rocha chega no repouso quando . Então vamos substituir na equação , encontrada no Passo 1:

Aqui temos uma equação de segundo grau no tempo. Os coeficientes são:

Usando a fórmula de bhaskara teremos uma solução:

O argumento da raiz vai zerar, então temos uma raiz dupla e igual:

E a posição nesse instante de tempo é só substituir na expressão da posição, equação :

Os dois primeiros termos se cancelam e ficamos apenas com o terceiro. Simplificando um pouco essa expressão teremos: