Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 102
Uma rocha com massa desliza com velocidade inicial sobre uma superfície horizontal. Uma força retardadora que a superfície exerce sobre a rocha é proporcional à raiz quadrada da velocidade instantânea da rocha
a) Obtenha expressões para a velocidade e a posição da rocha em função do tempo.
b) Quando a rocha chega ao repouso, em termos de ?
c) Qual é a distância da rocha em relação ao seu ponto de partida quando chega ao repouso, em termos de ?
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma rocha com massa desliza com velocidade inicial sobre uma superfície horizontal.
Uma força retardadora que a superfície exerce sobre a rocha é proporcional à raiz quadrada da velocidade instantânea da rocha, ou seja:
Onde é uma constante.
Queremos encontrar as expressões para a velocidade e a posição da rocha em função do tempo.
Também queremos descobrir o tempo e a distância em que a rocha chega ao repouso em termos da massa a constantee a velocidade inicial.
Para isso, utilizaremos a segunda Lei de Newton:
Onde é a força resultante, é a massa e é a aceleração.
Bora lá!! 😉
Passo 2
- Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar que
- A rocha chega no repouso quando . Então vamos substituir na equação , encontrada no Passo 1:
- E a posição nesse instante de tempo é só substituir na expressão da posição, equação :
Como a aceleração é a derivada da velocidade, temos,
E temos uma expressão da força em função da velocidade que o enunciado forneceu:
Podemos integrar e determinar uma expressão para a velocidade em função do tempo:
Passo 3
E podemos relacionar a velocidade com a derivada da posição:
Agora é só multiplicar por dos dois lados e integrar:
Logo,
Passo 4
Aqui temos uma equação de segundo grau no tempo. Os coeficientes são:
Usando a fórmula de bhaskara teremos uma solução:
O argumento da raiz vai zerar, então temos uma raiz dupla e igual:
Passo 5
Os dois primeiros termos se cancelam e ficamos apenas com o terceiro. Simplificando um pouco essa expressão teremos: