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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 73

Uma roda varia sua velocidade angular com uma aceleração angular constante enquanto gira em torno de um eixo fixo passando em seu centro. a) Mostre que a variação do módulo da aceleração radial de um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo é igual ao dobro do produto da aceleração angular vezes o deslocamento angular e vezes a distância perpendicular do ponto ao eixo. b) Aaceleração radial de um ponto sobre a roda situado a uma distância de 0,250 m do eixo varia de 25,0 m / s 2 a 85,0 m / s 2 para um deslocamento angular da roda igual a 15,0 rad. Calcule a aceleração tangencial desse ponto. c) Mostre que a variação da energia cinética da roda durante qualquer intervalo de tempo é igual ao produto do momento de inércia da roda em relação ao eixo vezes a aceleração angular e vezes o deslocamento angular. d) Durante o deslocamento angular de 15,0 rad mencionado na parte (b), a energia cinética da roda cresce de 20,0 J para 45,0 J. Qual é o momento de inércia da roda em relação ao eixo de rotação?

Passo 1

Faaaala, galerinha!

Aqui a gente tem várias perguntinhas sobre uma roda girando com um eixo no seu centro, mas fica tranquilo que elas são um tipo de passo a passo já para montarmos equações e já usarmos aqui mesmo.

Aqui estamos falando de um movimento de rotação com aceleração angular constante. Vamos por isso trabalhar, aqui, com as seguintes equações

a r a d = v 2 r = ω 2 r

a t a n = r α

Sendo r a distância entre o centro da roda (o eixo de rotação) até um ponto que pertence a roda. v a velocidade tangencial, ω a velocidade angular e α a aceleração angular.

Bora lá!

Passo 2

  1. Ele quer uma expressão para o módulo da variação da aceleração radial, ou seja, ele quer achar um

    2. Δ a r a d

    O módulo da aceleração radial é

    a r a d = ω 2 r

    Vamos imaginar que num instante 1, temos um ponto com velocidade angular ω 1 . A aceleração radial dele é

    a r a d , 1 = ω 1 2 r

    E depois num instante 2, esse mesmo ponto (mesma localização r ) tenha velocidade angular ω 2 . Aí a aceleração radial fica

    a r a d , 2 = ω 2 2 r

    E então, podemos fazer a seguinte relação da variação de aceleração radial entre esses pontos:

    ∆ a r a d = a r a d , 2 - a r a d , 1 = r ( ω 2 2 - ω 1 2 )

    Agora vamos colocar em função do ângulo θ

    Passo 3

    Aí a gente pode lembrar que para a aceleração angular constante vale que:

    ω 2 2 = ω 1 2 + 2 α ∆ θ

    Onde Δ θ é o deslocamento angular. Rearrumando:

    ω 2 2 - ω 1 2 = 2 α ∆ θ

    Substituindo na nossa expressão de Δ a r a d :

    ∆ a r a d = r ( 2 α ∆ θ )

    ∆ a r a d = 2 r α ( ∆ θ )

    Aí cai no que ele pediu!

    Passo 4

  2. Agora temos que lembrar que

    3. a t a n = r α

    Já que ele pede para encontrarmos a aceleração tangencial e nos dá r ,   Δ θ , a r a d 1   e a r a d 2 , podemos partir da equação que encontramos, e encontrar a aceleração α com os dados que ele nos deu:

    ∆ a r a d = 2 r α ( ∆ θ )

    ⇒ α = ∆ a r a d 2 r ( ∆ θ )

    Segundo o enunciado:

    ∆ a r a d = 85 m / s 2 - 25 m / s 2 = 60 m / s 2 r = 0,250 m ∆ θ = 15 r a d

    Então:

    α = 60 m / s 2 2 ⋅ 0,250 m ⋅ 15 r a d = 8 r a d / s 2

    Daí,

    a t a n = r α

    Isso implica que:

    a t a n = 0,250 m ⋅ 8 r a d / s 2 = 2 m / s 2

    Tranquilo até aqui?

    Passo 4

  3. Ele quer a variação de energia cinética da roda toda. Vamos lembrar aqui da equação

    4. K = 1 2 I ω 2

    Isso porque ela relaciona K , ω e I .

    Vamos imaginar que num instante 1, a roda tem velocidade angular ω 1 e em outro momento, essa mesma roda tem velecidade ω 2 . Se o momento de inércia I permance o mesmo porque é a mesma roda, temos que as energias cinéticas nesses instantes são:

    K 1 = 1 2 I ω 1 2

    K 2 = 1 2 I ω 2 2

    Calculando a variação de energia cinética

    ∆ K = K 2 - K 1 = 1 2 I ω 2 2 - ω 1 2

    Aí a gente pode lembrar que para a aceleração angular constante vale que:

    ω 2 2 - ω 1 2 = 2 α ∆ θ

    Logo

    ∆ K = 1 2 I 2 α ∆ θ = I α ∆ θ

    Prontinho, chegamos na expressão que ele descreve.

    Passo 5

  4. Novamente a gente vai usar a equação do passo anterior para achar o que ele pede. Encontraremos o momento de inercia isolando I :

I = ∆ K α ∆ θ

Os dados são os mesmos do passo 2, e agora a gente também tem novos dados para achar a variação de energia cinética

Δ K = K 2 - K 1 = 45 J - 20 J

Aí o momento de inércia fica:

I = ∆ K α ∆ θ = 45 J - 20 J 8 r a d s 2 ⋅ 15 r a d

I = 0,208 k g �� m 2

E então! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a) ∆ a r a d = 2 r α ( ∆ θ )

b) α = 8 r a d s 2 e a t a n = 2 m s 2

c) ∆ K = I α ∆ θ

d) I = 0,208 k g ⋅ m 2

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