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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 70

Engenheiros projetam um sistema por meio do qual uma massa m em queda livre imprime energia cinética a um tambor uniforme em rotação, ao qual a massa está presa por um cabo delgado e leve, enrolado em volta do tambor (Figura 9.34). Não há nenhum atrito significativo no eixo do tambor e tudo parte do repouso. Esse sistema está sendo testado na Terra, mas é para ser usado em Marte, onde a aceleração da gravidade é 3,71   m / s 2 . Nos testes na Terra, quando m possui 15,0   k g e deve cair por 5,0   m , ela fornece 250,0   J de energia cinética ao tambor. a) Quando o sistema for operado em Marte, qual distância a massa de 15,0   k g terá que cair para gerar o mesmo valor de energia cinética para o tambor? b) Qual a velocidade da massa de 15,0   k g em Marte quando o tambor obtiver 250,0   J de energia cinética?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Repara que nessa questão temos um corpo em queda livre mas preso a um fio que vai girar o tambor, ou seja, está havendo uma transferência de energia.

Deste modo, o que temos que fazer é aplicar a conservação de energia ao sistema t a m b o r + m a s s a   e m   q u e d a e depois comparar os resultados para Terra e para Marte.

Lembrando que a energia cinética do tambor é dada por:

K t a m b o r = 1 2 I ω 2

E a energia cinética da massa pendurada é dada por:

K m a s s a = 1 2 m v 2

Além disso, temos que

v = R ω

então, se K t a m b o r é o mesmo. Temos que ω é o mesmo e v é o mesmo em ambos os planetas. Sendo assim, K m a s s a é a mesma.

Tomando como y = 0 na altura inicial da massa e + y para cima.

Vamos dividir a situação em duas configurações:

1 : q u a n d o   a   m a s s a   e s t á   e m   s u a   p o s i ç ã o   i n i c i a l . 2 : é   q u a n d o   a   m a s s a   d e s c e   5 m

Então,

y 1 = 0

E

y 2 = - h

onde h é a altura em que a massa desce.

Bora lá!

Passo 2

  1. Pela conservação de energia, temos que:

    2. K 1 + U 1 = K 2 + U 2

    Nós só temos energia potencial quando está elevado do chão, ou seja, na nossa situação 2 .

    Assim temos que: U 1 = 0 U 2 = - m g h .

    Portanto, ficamos com:

    0 = K t a m b o r + K m a s s a - m g h

    Mas K t a m b o r + K m a s s a são iguais nos dois planetas, então ficamos só com a parte m g h .

    Como isso, fazemos,

    m g T e r r a h T e r r a = m g M a r t e h M a r t e

    Isso implica em:

    h M a r t e = h T e r r a g M a r t e g M a r t e

    h M a r t e = 5 m ⋅ 9,8 m s 2 3,71 m s 2

    h M a r t e = 13,2 m

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  2. Para sabermos a velocidade da massa em marte, fazemos a seguinte relação:

m g M a r t e h M a r t e = K t a m b o r + K m a s s a

∴

1 2 m v 2 = m g M a r t e h M a r t e - K t a m b o r

Isso implica em:

v = 2 g M a r t e h M a r t e - 2 K t a m b o r m

v = 2 ⋅ 3,71 m s 2 ⋅ 13,2 m - 2 ⋅ 250 J 15 k g

v = 8,04 m / s

Note que, fizemos os cálculos sem saber o momento de inércia I do tambor, ou a massa e o raio do tambor.

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. h M a r t e = 13,2 m
  2. v = 8,04 m / s
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