Na seção 8-3 foi provado, usando geometria, que, quando uma partícula colide elasticamente com outra partícula de mesma massa que está inicialmente em repouso, as duas velocidade após a colisão são perpendiculares. Aqui, examinamos um outro modo de provar este resultado, que ilustra o poder da notação vetorial. (a) Dado que A → = B → + C → , eleve ao quadrado os dois lados desta equação (obtenha o produto escalar de cada lado por ele mesmo) para mostrar que A 2 = B 2 + C 2 + 2 B → ⋅ C → . (b) Chame de P → a quantidade de movimento da partícula inicialmente em movimento, e de p 1 → e p 2 → as quantidades de movimento das partículas após a colisão. Escreva a equação vetorial para a conservação da quantidade de movimento linear e eleve os dois lados ao quadros (obtenha o produto escalar de cada lado por ele mesmo). Compare isto com a equação obtida da condição de colisão elástica (conservação da energia cinética) e, finalmente, mostre que estas duas equações implicam que p 1 → ⋅ p 2 → = 0 .

Passo 1

Aqui é só fazer o que ele mandou.

A → = B → + C → →   A → 2 = B → + C → 2

A → ⋅ A → = B → + C → B → + C →

A 2 = B 2 + C 2 + B → ⋅ C → + C → ⋅ B →

Como o produto escalar comuta...

A 2 = B 2 + C 2 + 2 B → ⋅ C →  

Passo 2

Conservação da quantidade de movimento:

P → = P 1 → + P 2 →

Elevando ao quadrado:

P → 2 = P 1 → + P 2 → 2

P 2 = P 1 2 + P 2 2 + 2 P 1 → ⋅ P 2 →   ( * )

Lembra que a gente pode relacionar quantidade de movimento e energia assim?

E = m v 2 2 = m 2 v 2 2 m = P 2 2 m

Então pela conservação de energia:

E = E 1 + E 2

P 2 2 m = P 1 2 2 m + P 2 2 2 m

Cortando os 2 m :

P 2 = P 1 2 + P 2 2

Vamos subtrair isso da equação marcada com estrela, para obter:

P 2 - P 2 = P 1 2 + P 2 2 +   2 P 1 → ⋅ P 2 → - P 1 2 - P 2 2

2 P 1 → ⋅ P 2 → = 0

P 1 → ⋅ P 2 → = 0  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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