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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 54

Por que a seguinte situação é impossível? Uma estação espacial com o formato de uma roda-gigante tem raio de r   =   100   m e momento de inércia de 5,00 × 10 8   k g   ⋅   m 2 . Uma equipe de 150 pessoas de massa média de 65,0   k g   está vivendo na borda, e a rotação da estação faz com que a equipe viva uma aceleração de queda livre aparente de g (Fig. P10.52). Um técnico de pesquisa recebe uma atribuição de realizar uma experiência na qual uma bola é derrubada na borda a cada 15   m i n u t o s , cujo intervalo de tempo para a bola cair uma determinada distância é medido como teste para ter certeza de que o valor aparente de g seja corretamente mantido. Uma noite, 100 pessoas se movem para o centro da estação para uma reunião sindical. O técnico de pesquisa, que já vem realizando sua experiência durante uma hora antes da reunião, está desapontado porque não pode comparecer à reunião, e seu humor azeda ainda mais porque sua experiência chata mostra um intervalo de tempo para a bola cair idêntico todas as noites.

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

A taxa de rotação da estação é tal que em sua borda a aceleração centrípeta,   a c , é igual à aceleração da gravidade na Terra, g . Assim, a força normal do piso do aro fornece força centrípeta em qualquer pessoa igual ao peso dessa pessoa:

∑ F r = m a r :

n = m v 2 r → m g = m ω i 2 r → ω i 2 = g r

A estação espacial está isolada, então seu momento angular é conservado. Quando as pessoas vão para o centro, o momento de inércia da estação diminui, sua velocidade angular aumenta e o valor efetivo da gravidade aumenta.

Passo 2

Da conservação do momento angular:

I i ω i = I f ω f → ω f ω i = I i I f

Onde

I i = I esta ção   + I pessoas   , i = 5.00 × 10 8 k g ⋅ m 2 + 150 ( 65.0 k g ) ( 100 m ) 2 = 5.98 × 10 8 k g ⋅ m 2

I f = I esta ção   + I pessoas,   f = 5.00 × 10 8 k g ⋅ m 2 + 50 ( 65.0 k g ) ( 100 m ) 2 = 5.32 × 10 8 k g ⋅ m 2

A aceleração centrípeta é o valor efetivo da gravidade: a c ∝ g . Comparando os valores de aceleração antes e durante a reunião, nós temos:

g f g i = a c , f a c , i = ω f 2 ω i 2 = I i I f 2 = 5.98 × 10 8 5.32 × 10 8 2 = 1.26 → g f = 1.26 g i

Quando as pessoas se movem para o centro, a velocidade angular da estação aumenta. Isso aumenta a gravidade efetiva em 26%. Portanto, a bola não levará o mesmo tempo para cair.

Resposta

Quando as pessoas se movem para o centro, a velocidade angular da estação aumenta. Isso aumenta a gravidade efetiva em 26%. Portanto, a bola não levará o mesmo tempo para cair.

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