Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas Adicionais - Ex. 81
Um corpo de raio e massa rola suavemente com velocidade em uma superfície horizontal e depois sobe sobe uma colina até uma altura máxima .
Se , qual é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa?
Que corpo pode ser esse?
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de mecânica de rotações?
O problema diz que um corpo rola suavemente (ou seja, sem deslizamento, o que nos diz que a relação é válida) e sobe uma colina até uma altura . Bom, como o sistema não dissipa energia, podemos dizer que a energia no pé da colina vai ser a mesma energia no alto da colina, certo?
No pé da colina temos apenas a energia cinética (de rotação e de translação, claro). À medida que o corpo vai subindo a colina, essa energia cinética é gradualmente convertida em energia potencial gravitacional. E no alto da colina, temos apenas a energia potencial gravitacional agindo.
Passo 2
Podemos então igualar as duas energias nesses pontos. Pelo princípio de conservação de energia (aquele que nos diz que a soma das energias é constante se o sistema não apresenta dissipação) teremos:
Lembrando que a energia potencial é dada por , energia cinética de translação e de rotação :
Passo 3
Substituindo a velocidade angular temos:
E sabendo que a altura máxima é podemos substituir ali em cima:
Como vou usar apenas pra facilitar a visualização e simplificar a notação ta?
Podemos cortar pois aparece em todos os termos:
Agora isolando no lado esquerdo temos:
E esse é o momento de inércia de um cilindro maciço girando em torno do seu eixo central
Show!
Bora treinar mais?