Enunciado
Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios e Problemas - Ex. 20
Seja , e .
- Faça um desenho dos vetores, com suas caudas na origem, e nomeie cada um deles. Use um sistema de coordenadas com o eixo apontando para o leste.
- Expresse os vetores em termos dos componentes, usando vetores unitários.
- Encontre o módulo e a orientação de
Passo 1
- Faça um desenho dos vetores, com suas caudas na origem, e nomeie cada um deles. Use um sistema de coordenadas com o eixo apontando para o leste.
- Expresse os vetores em termos dos componentes, usando vetores unitários.
Primeiro vamos ver quem é esse sistema de coordenadas que tem o eixo apontando para o leste:
É aquele que já estamos acostumados. UFAAA!!
Passo 2
Agora, vamos desenhar esses vetores lindinhos:
Vetores desenhadinhos!! Vetor está a sudeste, então forma esse ângulo com o semi-eixo positivo. Vetor apontando pro Norte, ou seja, na direção do eixo , então forma um ângulo de eixo .Vetor está a sudoeste, então forma esse ângulo com o semi-eixo negativo.
Passo 3
Primeiro precisamos lembrar quem são esses vetores unitários que a questão está falando.
Os vetores unitários , , são vetores que indicam a direção dos eixos e , respectivamente, no plano cartesiano. Então, se eu digo que um vetor , eu quero dizer que sua componente no eixo , , vale 2 e sua componente no eixo , , vale 4, okay?
Sabendo disso, precisamos descobrir as componentes de cada um dos três vetores e vamos usar aquele macetinho esperto:
A componente que está COlada com o ângulo é igual ao módulo do vetor vezes o COsseno do ângulo. Já a componente que está SEparada do ângulo é igual ao módulo do vetor vezes o SEno do ângulo.
Para o vetor :
Nota que para a componente tem um sinal de negativo acompanhando. Esse sinal é pra indicar que essa componente está apontando no sentido contrário ao sentido do eixo .
A questão nos forneceu o módulo:
E temos que:
Então, temos que:
Escrevendo em termos de e :
Agora temos que fazer a mesma coisa para os outros dois vetores.
Passo 2
Para o vetor :
A questão nos forneceu o módulo:
E temos que:
Então, temos que:
Escrevendo em termos de e :
Agora só falta o vetor :
Nota que para as componentes e tem um sinal de negativo acompanhando. Esse sinal é pra indicar que essa componentes estão apontando no sentido contrário ao sentido do eixo e .
A questão nos forneceu o módulo:
E temos que:
Então, temos que:
Escrevendo em termos de e :
Passo 3
- Encontre o módulo e a orientação de
Primeiro vamos encontrar quem é o vetor .
O vetor é uma soma entre os vetores , e . Como já conhecemos esses três vetores, porque encontramos eles em termos das componentes na letra b, para encontrarmos o vetor basta somarmos as componentes desses três vetores:
Passo 4
Agora que encontramos quem é o vetor em termos de suas componentes, precisamos lembrar de algumas coisinhas antes de continuarmos:
O módulo de um vetor é dado por:
Só precisamos saber de mais uma coisinha. Quando a questão está nos pedindo a orientação do vetor, ela está querendo saber qual o ângulo que o vetor faz com um dos eixos da sua escolha, mas lembra que esse eixo deve estar bem especificado beleza?
Da uma olhada aqui:
O vetor faz um ângulo acima do semi-eixo positivo. É essa informação que a questão quer saber quando nos pede a orientação.
Mas precisamos saber exatamente quem é esse ângulo . Levando em consideração sempre o ângulo que o vetor faz com o eixo , podemos usar a seguinte fórmula para achar o ângulo:
Foi?? Agora estamos prontos pra resolver
Passo 5
Como já conhecemos as componentes do vetor , vamos calcular o módulo:
Agora vamos calcular o que ele faz com o eixo :
O vetor está no quarto quadrante porque a sua componente é positiva, enquanto a componente é negativa:
Então, esse ângulo calculado é o ângulo que ele faz com o semi-eixo positivo.
Então, temos que o vetor tem módulo igual a e está à abaixo do semi-eixo positivo.
Resposta
-
- ; ;
- O vetor tem módulo igual a e está à abaixo do semi-eixo positivo.