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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 1

Sejam u e v dois vetores de estado fixos (normalizados) e λ = r   e i θ um número complexo variável. Demonstre que

min λ ⁡ u + λ v 2 = 1 - u v 2

quando λ varia, onde o mínimo é atingido para λ = - v u . Deduza daí a desigualdade de Schwarz

u v 2 ≤ 1

Passo 1

Esse é um problema puramente de álgebra linear, a base fundamental da mecânica quântica! Vamos começar lembrando que:

u + λ v 2 = u + λ * v u + λ v

Podemos escrever isso pois para qualquer vetor a , vale

a 2 = a a

Com isso,

u + λ v 2 = u u + λ u v + λ * v u + λ 2 v v

Usei que λ * λ = λ 2 . Como u e v são normalizados:

u u = v v = 1

Logo,

u + λ v 2 = 1 + λ 2 + λ u v + λ * v u

Passo 2

Agora vamos usar a expressão λ = r   e i θ . Logo,

λ * = r   e - i θ           e         λ 2 = r 2

Assim,

u + λ v 2 = 1 + r 2 + r e i θ u v + r e - i θ v u

Vamos chamar f r ,   θ = u + λ v 2 . Assim,

f r ,   θ = 1 + r 2 + r e i θ u v + r e - i θ v u

Note que u v e v u são fixos. Para minimizar f , fazemos as derivadas:

∂ f ∂ r = 2 r + e i θ u v + e - i θ v u

∂ f ∂ θ = i r e i θ u v - i r e - i θ v u

Fazendo

∂ f ∂ θ = 0 ⇒ e i θ u v = e - i θ v u

Vamos guardar essa relação!

Passo 3

Vamos zerar a derivada com relação a r :

∂ f ∂ r = 0 ⇒ 2 r + e i θ u v + e - i θ v u

Mas sabemos que

e i θ u v = e - i θ v u

Substituindo isso na expressão, temos que

2 r + e - i θ v u + e - i θ v u = 0

Logo, isolando r

r = - e - i θ v u

Portanto, o valor de λ que minimiza f é

λ = - e - i θ v u   e i θ = - v u

Passo 4

Agora temos que lembrar que

u + λ v 2 = 1 + λ 2 + λ u v + λ * v u

Logo, substituindo o valor de λ :

min λ ⁡ u + λ v 2 = 1 + - v u * - v u + - v u u v + - v u * v u

Mas sabemos que

- v u * - v u = + u v 2

- v u u v = - u v 2

- v u * v u = - u v 2

Logo,

min λ ⁡ u + λ v 2 = 1 + u v 2 - u v 2 - u v 2

Portanto,

min λ ⁡ u + λ v 2 = 1 - u v 2

Era isso que o exercício pedia para demonstrarmos!

Passo 5

Bom, nós sabemos que

u + λ v 2 ≥ 0

Logo,

min λ ⁡ u + λ v 2 ≥ 0

Com isso,

1 - u v 2 ≥ 0

Portanto, chegamos na desigualdade de Schwarz:

u v 2 ≤ 1

Resposta

Demonstração.

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