Um cabo uniforme, de massa M e coprimento L, está inicialmente equilibrado sobre uma pequena polia de massa desprezível, com a metade do cabo pendente de cada lado da polia. Devido a um pequeno desequilíbrio o cabo começa a deslizar para uma de suas extremidades, com atrito desprezível. Com que velocidade o cabo está se movendo quando a sua outra extremidade deixa a polia?

Passo 1

Antes de tudo, é importante saber que como o cabo é uniforme podemos escrever

M L = ρ

Nessa situação só as partes do cabo que estão penduradas são responsáveis pela aceleração do corpo, de modo que a força gravitacional varia ao longo do tempo. Quando um pedacinho muito pequeno de cabo escorrega para baixo em um lado outro pedacinho sobe do outro, vamos escrever isso.

F r e s = F d i r e i t a - F e s q u e r d a

No equilíbrio a gente tinha F d i r e i t a = F e s q u e r d a , mas agora temos uma massinha m que escapuliu pra um lado. Fica assim

F r e s = g M 2 + m - g M 2 - m

Modificando nossas variáveis com as relações iniciais onde M = ρ L e m = ρ l temos

F r e s = ρ g L 2 + l - L 2 - l

Fazendo essa soma, chegamos ao seguinte resultado

F r e s = 2 ρ g l

Agora vamos aplicar o teorema do trabalho-energia cinética para saber a velocidade final, chega mais!

Δ K = ∫ f r e s x d x

Como a corda só sai completamente da polia quando metade do seu comprimento escorrega temos,

Δ K = 2 ρ g ∫ 0 L / 2 l   d l

= 2 ρ g L 2 8

= M g L 4

M v 2 2 = M g L 4

v = g L 2  

Resposta

v = g L 2

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