Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 16
Na soma , o vetor tem um módulo de e faz um ângulo de no sentido anti-horário com o semieixo positivo; o vetor tem um módulo de e faz um ângulo de no sentido anti-horário com o semieixo negativo. Determine (a) o módulo de e (b) o ângulo de com o semieixo positivo.
Passo 1
Para resolver este tipo de problema é preciso lembrar que para somar dois vetores podemos obter as componentes escalares dos vetores e, em seguida, combiná-las, eixo por eixo, com isso obtemos as componentes do vetor soma e escrevendo as componentes usando a notação de vetores unitários podemos escrever o vetor resultante da soma. Logo:
Para isso, precisamos lembrar que, dado o módulo do vetor () e o ângulo que este faz com o semieixo positivo (), podemos escrever suas componentes da seguinte maneira:
Não menos importante, devemos nos lembrar que o módulo de um vetor é dado por:
E o ângulo medido em relação ao semieixo positivo é dado por:
Neste problema nós conhecemos o módulo de dois vetores ( e ) e dois ângulos ( no sentido anti-horário com o semieixo positivo e no sentido anti-horário com o semieixo negativo) e precisamos determinar o módulo do vetor e o ângulo que este vetor faz com o semieixo positivo.
Passo 2
Para determinar as componentes escalares do vetor utilizaremos as equações explicitadas acima, pois, para este vetor, o ângulo dado foi em função do semieixo positivo, então podemos substituir direto os valores:
Em contra partida, o vetor foi determinado em função do semieixo negativo, portanto, podemos determinar o valor do ângulo em função do semieixo positivo somando no ângulo dado, assim:
Passo 3
Reescrevendo a soma vetorial dada no enunciado (), de forma que deixemos o vetor isolado, ao invés do vetor :
Agora, subtraímos as componentes eixo por eixo:
Portanto, podemos combinar essas componentes de para escrever o vetor em termos dos vetores unitários:
Passo 4
Para encontrar o módulo do vetor usaremos a equação explicitada no passo :
Passo 5
Para determinar o ângulo que o vetor faz com o semieixo positivo também usaremos a equação explicitada no passo :
Devemos tomar cuidado quando utilizando a função na calculadora, pois dois ângulos e possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.
Como nosso vetor possui a componente e a componente negativas, então este só pode estar no terceiro quadrante, pois é o único cujo o seno e cosseno são negativos, portanto:
Resposta
- ;
- .