Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 16.Exercícios e Problemas - Ex. 8
Supondo que os números de prótons e nêutrons na Terra sejam iguais, calcule a fração de seus elétrons que a Terra teria que perder para desintegrar-se, ou seja, para que a sua auto energia negativa gravitacional fosse neutralizada pela sua auto-energia positiva eletrostática. Suponha que a carga elétrica esteja uniformemente distribuída no corpo da Terra.
Passo 1
Na seção 16.2 do livro foi deduzida a expressão para a auto-energia eletrostática para uma casca esférica de raio uniformemente carregada com uma carga :
Já para a auto-energia gravitacional de uma esfera com mesmo raio e massa , temos que
Essa expressão foi calculada no capítulo 11 do livro (primeiro volume). A ideia por trás dela é a mesma da energia eletrostática: lembre-se que a da gravitação de Newton tem a mesma estrutura da lei de Coulomb!
Para que as duas energias se anulem:
Agora precisamos escrever e em termos da fração pedida no problema.
Passo 2
A Terra é originalmente neutra, com o número de prótons sendo igual ao número de elétrons. Nesse caso, . Vamos chamar de o número inicial de prótons (que será igual ao número de nêutrons e elétrons).
Como vamos perder uma fração de elétrons, o número dessas partículas negativas perdidas será
Com isso, teremos um excesso de prótons com relação aos elétrons, de forma que a carga passa a ser
Lembre-se que é a carga elementar de um próton.
Já para a massa, vamos desprezar os elétrons. Sabemos que os prótons e nêutrons têm massa praticamente iguais, de modo que podemos escrever
Nessa última relação, é a massa do próton. Com isso,
Daí é só fazer conta:
Portanto,