- Supondo a Terra como uma esfera homogênea de raio e massa , mostre que o período (tempo de uma rotação diária) de rotação em torno de seu eixo está relacionado com seu raio por , onde . Aqui, é a magnitude da quantidade de movimento angular de spin da Terra. (b) Suponha o raio variando de uma pequena quantidade, , devido a alguma causa interna, como expansão térmica. Mostre que a variação relativa do período é dada, aproximadamente, por . (c) De quantos quilômetros deve aumentar para que o período varie de (de forma a que não sejam mais necessários os anos bissextos)?
Passo 1
- Podemos relacionar o período à velicidade angular pela equação:
- Vamos calcular a derivada de com relação a :
- Pela equação que a gente acabou de usar, a gente vai obter o resultado que queremos. Queremos que a variação relativa do período seja de um quarto de dia por ano. Então:
Mas o momento angular pode ser escrito como:
Então, substituindo na equação do período:
A gente considera que a Terra é uma esfera homogênea!
Viu? A relação é da forma , com da forma:
Passo 2
Então, passando o que é pra um lado e o que é pro outro:
Passo 3
Agora a gente substitui o raio da Terra pra acabar!