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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 82

  1. Supondo a Terra como uma esfera homogênea de raio r e massa m , mostre que o período T (tempo de uma rotação diária) de rotação em torno de seu eixo está relacionado com seu raio por T = b r 2 , onde b = 4 π m 5 L . Aqui, L é a magnitude da quantidade de movimento angular de spin da Terra. (b) Suponha o raio r variando de uma pequena quantidade, Δ r , devido a alguma causa interna, como expansão térmica. Mostre que a variação relativa do período é dada, aproximadamente, por Δ T T = 2 Δ r r . (c) De quantos quilômetros r   deve aumentar para que o período varie de 0,25   d i a / a n o (de forma a que não sejam mais necessários os anos bissextos)?

Passo 1

  1. Podemos relacionar o período à velicidade angular pela equação:

    2. T = 2 π ω

    Mas o momento angular pode ser escrito como:

    L = I ω

    ω = L I

    Então, substituindo na equação do período:

    T = 2 π L I = 2 π I L

    A gente considera que a Terra é uma esfera homogênea!

    T = 2 π 2 m r 2 5 L

    T = 4 π m 5 L r 2

    Viu? A relação é da forma T = b r 2 , com b da forma:

    b = 4 π m 5 L

    Passo 2

  2. Vamos calcular a derivada de T com relação a r :

    3. d T d r = d d r 4 π m 5 L r 2

    d T d r = 2 4 π m 5 L r

    d T d r = 2 T r 2 r

    d T d r = 2 T r

    Então, passando o que é T pra um lado e o que é r pro outro:

    d T T = 2 d r r

    Δ T T = 2 Δ r r

    Passo 3

  3. Pela equação que a gente acabou de usar, a gente vai obter o resultado que queremos. Queremos que a variação relativa do período seja de um quarto de dia por ano. Então:

Δ T T = 1 4 d i a a n o × 1   a n o 365 × 24   d i a = 1 1460

2 Δ r r = 1 1460

Δ r = r 2920

Agora a gente substitui o raio da Terra pra acabar!

Δ r = 6.37 × 10 3 k m 2920

Δ r = 2.18 k m

Resposta

  1. T = 4 π m 5 L r 2
  2. Δ T T = 2 Δ r r
  3. Δ r = 2.18 k m
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