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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas Adicionais - Ex. 87

Um carro de brinquedo de 3,0   k g se move ao longo de um eixo x com uma velocidade dada por v → = - 2,0 t 3 i ^   m / s , com t em segundos. Para t > 0 , qual é (a) o momento angular L → do carro e (b) o torque τ sobre o carro, ambos calculados em relação à origem? Qual é o valor (c) de L → e (d) de τ → em relação ao ponto ( 2,0   m ; 5,0   m ; 0 )? Quais são o valor (e) de L → e (f) de τ → em relação ao ponto ( 2,0   m ; - 5,0   m ; 0 )?

Passo 1

Inicialmente, vamos determinar as funções de posição e aceleração do carro. Para tanto, integraremos e derivaremos a função da velocidade. Assim, para determinar a posição:

r → t = ∫ 0 t v → t d t

r → t = ∫ 0 t - 2 t 3 i ^   d t

Considerando que parte da origem, temos:

r → t = - t 4 2 i ^

E a aceleração, é

a → t = d v → t d t

a → t = - 6 t 2

Passo 2

Para determinar o momento angular L → = r → × p → , iremos calculcar o determinante da seguinte matriz 3 x 3 :

L → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ - t 4 2 0 0 3 × - 2 t 3 0 0

Assim, temos que:

L → = 0

Passo 3

Para determinar o torque τ → = r → × F → , calcularemos o determinate da seguinte matriz:

τ → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ - t 4 2 0 0 3 × - 6 t 2 0 0

Portanto, o torque também será nulo:

τ → = 0

Passo 4

Para o caso de r → = 2 i ^ + 5 j ^ , então, calculando o momento angular novamente pelo determinar da matriz 3 x 3 , temos:

L → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ 2 5 0 3 × - 2 t 3 0 0

Calculando o determinante:

L → = - 5 × 3 × - 2 t 3 k ^

L → = 30 t 3 k ^     k g ∙ m 2 / s

Passo 5

Calculando agora o torque:

τ → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ 2 5 0 3 × - 6 t 2 0 0

Calculando o determinante, temos:

τ → = - 5 × 3 × - 6 t 2

τ → = 90 t 2 k ^     N ∙ m

Passo 6

Para o caso de r → = 2 i ^ - 5 j ^ , basta trocarmos o sinal dos valores encontrados:

L → ' = - 30 t 3 k ^     k g ∙ m 2 / s

τ → ' = - 90 t 2 k ^   N ∙ m

Resposta

  1. L → = 0 ;
  2. τ → = 0 ;
  3. L → = 30 t 3 k ^     k g ∙ m 2 / s ;
  4. τ → = 90 t 2 k ^   N ∙ m ;
  5. L → = - 30 t 3 k ^     k g ∙ m 2 / s ;
  6. τ → = - 90 t 2 k ^   N ∙ m .
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