Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 89
O telescópio espacial Hubble foi usado para determinar a existência de planetas orbitando estrelas distantes. O planeta que orbita a estrela fará com que a estrela "balance" com o mesmo período da órbita do planeta. Por causa da oscilação, a luz da estrela será deslocada pelo efeito Doppler para cima e para baixo periodicamente. Estime os comprimentos de onda máximos e mínimos da luz do comprimento de onda nominal de 500 nm emitidos pelo Sol que é alterado pelo efeito Doppler causado pelo movimento do Sol devido ao planeta Júpiter.
Passo 1
Bom, vamos precisar calcular a velocidade da orbita do Sol em relação ao centro de massa entre o Sol e Júpiter, com ela poderemos calcular o comprimento de onda pedido no enunciado. Primeiro vamos escrever a massa dos dois planetas em termos do centro de massa em relação à origem que colocaremos no centro do Sol:
Sendo a distância relativa entre o Sol e Júpiter (ou o raio da orbita de Júpiter), o primeiro termo zera, pois a distância entre o Sol a origem é zero.
E escrevendo a massa dos dois planetas em termos de uma única massa efetiva:
Passo 2
Vamos então aplicar a Segunda Lei de Newton para o Sol que está sendo atraído pelo conjunto Sol-Júpiter pela força gravitacional da massa efetiva do conjunto que se localiza no ponto do centro de massa dos dois corpos celestes:
Isolando a velocidade:
Substituindo os valores da posição do centro de massa e da massa efetiva:
Substituindo os valores de cada grandeza:
Passo 3
Agora usando a equação do efeito Doppler para a frequência da luz, que ‘balançará’ devido ao efeito Doppler causado pelo movimento do Sol quando ele está se aproximando da Terra observada por um observador no telescópio Hubble:
E a frequência da luz pode ser escrita em termos de sua velocidade c e seu comprimento de onda:
Simplificando os c e isolando :
Expandindo binominalmente cada termo pois :
Ficamos com:
E fazendo outra aproximação pelo mesmo motivo:
Quando o Sol está se afastando da Terra, os sinais se inverterão para :
E então:
Passo 4
E por fim, substituímos o valor da velocidade que obtivemos anteriormente e do comprimento de onda dado no enunciado para encontrarmos o comprimento de onda máximo e mínimo modificado devido ao efeito Doppler: