Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetido um vidro de pimenta localizado nas coordenadas ( 3 m ; - 2 m ; 4 m ) devido

( a ) à força F 1 → = 3 N i → - 4 N j → + 5 N k → ,

( b ) à força F 2 → = - 3 N i → - 4 N j → - 5 N k → e

( c ) à soma vetorial de F 1   e   F 2 ?

d Repita o item ( c ) para o torque em relação ao ponto de coordenadas 3 m ; 2 m ; 4 m .

Passo 1

Vamos treinar o cálculo de torque?

Na letra (a), o torque τ → é dado pelo produto vetorial do vetor posição r → = ( 3 ; - 2 ; 4 ) em relação à origem pela força F 1 → = ( 3 ; - 4 ; 5 ) .

Vamos montar a equação usando o produto vetorial. ATENÇÃO NA ORDEM! O produto vetorial é diferente se a ordem dos vetores não está correta! Bora fazer?

τ → = r → × F →

De maneira que:

τ → 1 = i → j → k → 3 - 2 4 3 - 4 5 = i → - 10 + 16 + j → 12 - 15 + k → ( - 12 + 6 )

Logo:

τ → 1 = 6 i → - 3 j → - 6 k →

Passo 2

Agora na letra (b), o torque em relação à força F → 2 vai ser:

τ → 2 = r → × F 2 →

Sendo assim:

τ → 2 = i → j → k → 3 - 2 4 - 3 - 4 - 5 = i → + 10 + 16 + j → - 12 + 15 + k → ( - 12 - 6 )

τ → 2 = 26 i → + 3 j → - 18 k →

Passo 3

Agora na letra (c), em relação à soma vetorial, primeiro precisamos achar qual é essa força resultante da soma entre F → 1 e F → 2 , tal que:

F → r e s = F → 1 + F → 2 = 3 ; - 4 ; 5 + - 3 ; - 4 ; - 5

F → r e s = ( 0 ; - 8 ; 0 )

Show!

Agora fazemos o mesmo procedimento dos passos anteriores para calcular o torque:

τ → 3 = r → × F → r e s

Logo:

τ → 3 = i → j → k → 3 - 2 4 0 - 8 0 = i → 0 + 32 + j → 0 + 0 + k → ( - 24 + 0 )

τ → 3 = 32 i → - 24   k →

Passo 4

Agora o problema pede pra repetir o cálculo do torque com a força resultante, que nem feito no passo anterior, mas em relação a um ponto. Bom, como modificar o eixo de rotação, modifica o torque, então precisamos definir o novo vetor r → :

r → = 3 ; - 2 ; 4 - 3 ; 2 ; 4

r → = ( 0 ; - 4 ; 0 )

Pronto, basta repetir o cálculo, mas com esse novo vetor!

τ → 4 = i → j → k → 0 - 4 0 0 - 8 0 = i → 0 + 0 + j → 0 + 0 + k → 0 + 0

τ → 4 = 0

Resposta

  1. 6 i → - 3 j → - 6 k →  
  2. 26 i → + 3 j → - 18 k →
  3. 32 i → - 24 k →
  4. 0
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