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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 45

Um corpo com massa m   =   5,10   k g é preso à extremidade livre de uma corda leve enrolada ao redor de uma bobina de raio R   =   0,250   m e massa M   =   3,00   k g . A bobina é um disco sólido, livre para girar em um plano vertical sobre o eixo horizontal passando pelo centro como mostrado na Figura P10.45. O corpo suspenso é solto do repouso 6,00   m acima do solo. Determine

  1. a tensão na corda,
  2. a aceleração do corpo e
  3. a velocidade com que o corpo atinge o solo.
  4. Verifique sua resposta para a parte (c) usando o modelo de sistema isolado (energia).

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

A força gravitacional exercida na bobina é:

m g = 5.10 k g 9.80 m s 2 = 50.0 N   para baixo

Letra a:

Use ∑ τ = I α para achar T e a:

Primeiro vamos encontrar I:

I = 1 2 M R 2 = 1 2 ( 3.00 k g ) ( 0.250 m ) 2 = 0.0938 k g ⋅ m 2

Depois, usando o torque temos:

∑ τ = I α n 0 + F g p 0 + T 0.250 m = 0.0938 k g ⋅ m 2 a 0.250 m                         ( 1 )

Onde aplicamos a t = r α . Para o objeto que se move para baixo:

∑ F y = m a y

50.0 N - T = 5.10 k g a                               ( 2 )

Substituindo as duas equações uma na outra:

[ 50.0 N - ( 5.10 k g ) a ] ( 0.250 m ) = 0.0938 k g ⋅ m 2 ( a / 0.250 m ) 12.5 N ⋅ m - ( 1.28 k g ⋅ m ) a = ( 0.375 k g ⋅ m ) a

Passo 2

Letra b:

12.5 N ⋅ m = a 1.65 k g ⋅ m

a = 7.57 m s 2

Como eliminamos T na resolução das equações simultâneas, a resposta para a, exigida para a parte (b), surgiu primeiro. Não importa, agora podemos substituir de volta para obter a resposta da parte (a).

VOLTANDO À LETRA A:

T = 50.0 N - 5.10 k g 7.57 m s 2 = 11.4 N

Passo 3

Letra c:

Para o movimento do peso suspenso:

v f 2 = v i 2 + 2 a y f - y i = 0 2 + 2 7.57 m s 2 ( 6.00 m ) v f = 9.53 m / s   ( p a r a   b a i x o )  

Passo 4

Letra d:

O modelo de energia do sistema isolado pode levar em consideração vários objetos mais facilmente do que a segunda lei de Newton. Vamos usar:

K 1 + K 2 + U g i = K 1 + K 2 + U g f

Onde K 1 é a energia cinética translacional do objeto em queda e K 2 é a energia cinética rotacional da bobina.

0 + 0 + m 1 g y 1 i = 1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 I 2 ω 2 f 2 + 0

Agora observe que ω = v r conforme a corda se desenrola da bobina.

m g y i = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2 2 m g y i = m v 2 + I v 2 R 2 = v 2 m + I R 2

v = 2 m g y i m + I / R 2 = 2 ( 5.10 k g ) 9.80 m / s 2 ( 6.00 m ) 5.10 k g + 0.0938 / 0.25 2 k g = 9.53 m / s

Resposta

  1. 11.4 N
  2. a = 7.57 m s 2
  3. v f = 9.53 m / s  (para baixo)
  4. 9.53 m s
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