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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios e Problemas - Ex. 6

6 . || A trajetória de uma partícula é descrita por x = ( 1 2 t 3 - 2 t 2 ) m e y = ( 1 2 t 2 - 2 t ) m

, onde t está em s .

a. Quais são os valores da posição e da velocidade da partícula em t =   0   s e t   = 4   s ?

b. Qual é a orientação do movimento da partícula, medida por um ângulo em relação ao eixo x , em t =   0   s   e   t = 4   s ?

Passo 1

Nessa precisamos lembrar que:

A função posição (trajetória) tem como derivada a função velocidade.

Outra coisa é lembrar das representações de um número no plano cartesiano, veja:

Nós podemos achar o pontinho de várias formas:

G r á f i c a : ( x , y )

V e t o r i a l   : a i ^ + b j ^

R e t a n g u l a r :   x + j y

P o l a r : r ∠ θ    

E x p o n e n c i a l : r e j θ

Essas formas se comunicam entre si, e ainda podemos estender isso adicionando um terceiro eixo.

Nessa questão, e na maioria, vamos usar forma vetorial e a forma polar.

Temos essa relação de conversão entre vetorial e polar:

r = a 2 + b 2

θ = tan - 1 ⁡ b a  

Passo 2

A função posição já foi dada na questão, quando ele informou a trajetória e velocidade é encontrada derivando ela, ficamos:

Posição:

x = ( 1 2 t 3 - 2 t 2 ) m e y = ( 1 2 t 2 - 2 t ) m

Velocidade:

v = d x d t i ^ + d y d t j ^

v = 3 2 t 2 - 4 t i ^ + t - 2 j ^

Passo 3

Agora aplicamos essas informações para resolver, acompanhe com atenção:

a. Quais são os valores da posição e da velocidade da partícula em t =   0   s e t   = 4   s ?

Posição em t =   0   s

x = 1 2 0 3 - 2 0 2 m e       y = 1 2 0 2 - 2 0 m

x = 0 m   e   y = 0 m

⇒ s = ( 0 i ^ + 0 j ^ ) m

⇒ s = 0 ∠ 0 ° m

Posição em t   = 4   s

x = 1 2 4 3 - 2 4 2 m e       y = 1 2 4 2 - 2 4 m

x = 0 m   e   y = 0 m

⇒ s = ( 0 i ^ + 0 j ^ ) m

⇒ s = 0 ∠ 0 ° m

Velocidade em t = 0 s

v = 3 2 t 2 - 4 t i ^ + t - 2 j ^

v = 3 2 ( 0 ) 2 - 4 ( 0 ) i ^ + ( 0 ) - 2 j ^

⇒ v = ( 0 i ^ - 2 j ^ ) m

⇒ v = 0 ∠ 0 ° m

Velocidade em t = 4 s

v = 3 2 t 2 - 4 t i ^ + t - 2 j ^

v = 3 2 ( 4 ) 2 - 4 ( 4 ) i ^ + ( 4 ) - 2 j ^

⇒ v = ( 8 i ^ + 2 j ^ ) m

⇒ v = 8,3 ∠ 14 ° m

Passo 4

b. Qual é a orientação do movimento da partícula, medida por um ângulo em relação ao eixo x , em t =   0   s   e   t = 4   s ?

Nós já calculamos isso na última parte da letra a , veja que o móvel parte do repouso, e vai descrevendo um movimento com 14° anti-horário em relação ao eixo + x .

Nós fizemos:

Em t = 0 s:

⇒ v = ( 0 i ^ - 2 j ^ ) m

⇒ v = 0 ∠ 0 ° m

Em t = 4 s

⇒ v = ( 8 i ^ + 2 j ^ ) m

⇒ v = 8,3 ∠ 14 ° m

Lembre-se a forma de saber o ângulo pode ser:

θ = tan - 1 ⁡ b a

Então na última parte temos:

θ = tan - 1 ⁡ 2 8 ≅ 14 °

Resposta

( a )

Posição em t =   0   s

⇒ s = ( 0 i ^ + 0 j ^ ) m

⇒ s = 0 ∠ 0 ° m

Posição em t   = 4   s

⇒ s = ( 0 i ^ + 0 j ^ ) m

⇒ s = 0 ∠ 0 ° m

Velocidade em t = 0 s

⇒ v = ( 0 i ^ - 2 j ^ ) m

⇒ v = 0 ∠ 0 ° m

Velocidade em t = 4 s

⇒ v = ( 8 i ^ + 2 j ^ ) m

⇒ v = 8,3 ∠ 14 ° m

( b )

14 ° anti-horário em relação ao eixo + x .

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